Nombres complexes et géométrie

Nombres complexes et vecteurs

Nombres complexes et vecteurs

Distances et vecteurs

On considére deux points $A$($z_A$) et $B$($z_B$) du plan complexe $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$.

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe :

$z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.

Il en résulte donc que la distance $AB$ vaut :

$AB=|z_B-z_A|$.

Angles et arguments

Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points du plan complexe $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$.

On a les résultats suivants :

$ \boxed{ arg(z_B-z_A)=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}) ~ [2\pi]}$

$\boxed{ arg\bigg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\bigg) = (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) ~ [2\pi]}$

Exemple

On donne les quatre points suivants :

$A(0,0)$, $B(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12)$, $C(\dfrac12,-\dfrac12)$ et $D(1,-\dfrac12)$.

Calculer une mesure de l’angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$.

On commence par donner l’affixe des quatre points :

• $ z_A=0$
• $z_B=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i$
• $z_C=\dfrac12-\dfrac12 i$
• $z_D=1-\dfrac12 i$

On a alors :

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{(1-\dfrac12 i)-(\dfrac12-\dfrac12 i)}{(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i)-(0)} $

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{\dfrac12}{\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i}$.

En simplifiant par $2$ puis en multipliant par la quantité conjuguée, on a : 

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}=\dfrac{\sqrt3-i}{4} $

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{1}{2}\times \left( \dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\right)$

En utilisant les méthodes précédentes, on montre facilement que :

$arg\left( \dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\right) = -\dfrac{\pi}{6} ~ [2\pi] $.

On trouve donc :

$arg\bigg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\bigg) = -\dfrac{\pi}{6} ~ [2\pi] $.

Conclusion :

Comme

$arg\bigg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\bigg) = (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) ~ [2\pi]$,

on a donc : 

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=-\dfrac{\pi}{6} ~ [2\pi]$