Distance d'un point à un plan / à une droite
Distance d'un point à un plan / à une droite
Ces notions ne sont pas exigibles au programme :
– Soient le plan \(P\) d’équation \(ax + by + cz + d = 0\) et un point \(A (x_A; y_A; z_A)\).
La distance du point au plan se calcule par :
\(D(A, P) = AH = \dfrac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
– La distance du point $A$ à une droite \(\Delta\) est la distance \(AH\) telle que :
\( \left\{ \begin{array}{ll} H \in \Delta \\ \overrightarrow{AH} . \overrightarrow{u} = 0 \end{array} \right. \)
$\overrightarrow{u}$ étant une vecteur directeur de la droite$\Delta$
Distance d'un point à un plan / à une droite - Exercice 1
Soit \(\Delta \left\{ \begin{array}{ll} x = 2t – 1 \\ y = t + 6 \\ z = 3t + 3 \end{array} \right. \) avec \(t \in \mathbb{R}\).
Soit \(M (0, 1, 2)\).
Calculer la distance entre le point et la droite.
Étape 1 : On remplace \(x, y \text{ et } z\) par les coordonnées du point \(M\). Si le nombre \(t\) est unique, alors \(M\) appartient à la droite.
Étape 2 : On définit un point \(H\) tel que \(H\) appartient à \(\Delta\) et \( \overrightarrow{MH} . \overrightarrow{u} = 0\).
Étape 3 : On définit un vecteur \(\overrightarrow{u}\) de \(\Delta\) à partir des coefficients de \(t\).
Étape 4 : On définit et on résout le système d’équations vérifiant les 2 conditions du point \(H\).
Étape 5 : Grâce à la valeur de \(t\), on peut définir les coordonnées du point \(H\).
Etape 6 : On utilise la formule du cours pour calculer la longueur \(MH\) à partir des coordonnées de \(M\) et de \(H\) :
Distance d'un point à un plan / à une droite - Exercice 2
Soient \(P : -x + 2y + 3z + 2 = 0\) et \(A (2, 0, 1)\).
Cherchons la distance du point au plan.
Étape 1 : On regarde si le point appartient au plan en remplaçant \(x, y \text{ et } z\) par les coordonnées du point \(A\).
Étape 2 : On applique la formule du cours avec les valeurs des coefficients de l’équation du plan et des coordonnées de \(A\).