Les primitives
Les primitives
Primitive d’une fonction
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On dit qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x$ de $I$, $F'(x) = f(x)$.
Primitives usuelles
Opérations sur les primitives
Opérations élémentaires sur les primitives
Propriétés
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ réel.
| Fonction | Une primitive | Conditions |
| $u’+v’$ | $u+v$ | |
| $ku’$ (avec $k$ constante) | $ku$ | |
| $u’u^n$ avec $n$ appartient à $\mathbb{Z}$ et différent de $-1$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ | $u$ différent de $0$ sur $I$ si $u\leq 0$ |
| $\dfrac{u’}{\sqrt u}$ | 2$\sqrt u$ | $u>0$ sur $I$ |
| $\dfrac{v’}{v^2}$ | $-\dfrac{1}{v}$ | $v\neq 0$ sur $I$ |
| $u’e^{u}$ | $e^{u}$ | |
| $\dfrac{u’}{u}$ |
$\ln(u)$ $\ln(-u)$ |
$u>0$ sur $I$ $u<0$ sur $I$ |
| $u'(v’\circ u)$ | $v\circ u$ |
Exemples
1. Chercher une primitive sur \(\mathbb{R}\) de : $ f(x) = x e^{x^2+ 1}$
2. Chercher une primitive sur \(\mathbb{R}\) de : $ g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$.
Correction
1. $ f(x) = x e^{x^2+ 1}$
Etape 1 : On cherche les expressions de \(u\) et \(u’\) pour arriver à la forme \(u’ e^u\).
\(u (x) = x^2+ 1 \) et \(u'(x)= 2x \)
Etape 2 : On multiplie par $2$ et par $\dfrac{1}{2}$ pour faire apparaître le “$2$” manquant.
$ f(x)=\dfrac{1}{2} \times 2x e^{x^2+ 1} $
$ f(x)=\dfrac{1}{2} u'(x) e^u(x) $
Etape 3 : On définit une primitive grâce au cours.
$ F(x)= \dfrac{1}{2} e^{x^2+ 1}$
2.$ g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$
Etape 1 : On note \(u(x)= x^2 + x + 1 \) et \(u'(x)=2x+1\). On factorise par $3$ le numérateur pour faire apparaître \(u'(x)\).
On a : $ g(x) = \dfrac{3(2x + 1)}{x^2 + x + 1}$.
Soit : $ g(x) = \dfrac{3u'(x)}{u(x)}$.
Etape 2 : On remarque que $x^2+x+1>0$ sur $\mathbb{R}$ et on définit une primitive de $g$ grâce au cours.
$ G(x) = 3\ln (x^2 + x + 1)+ c$
Opérations sur les primitives - Exercice
Cherchons une primitive de : \(f(x) = \frac{ln x}{x}\) pour \(x \in ]0 ; +\infty [\)
Étape 1 : On découpe l’expression en deux parties que l’on reconnaît comme \(u\) et sa dérivée.
Étape 2 : On trouve une primitive grâce au tableau des opérations sur les primitives.
Cherchons une primitive de : \(g(x) = \frac{2}{3} x\sqrt{x}\) pour \(x \in ]0 ; +\infty[\)
Étape 1 : On utilise le fait que \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\)
Étape 2 : On regroupe les termes de \(x\).
Étape 3 : On connaît une primitive de \(x^n\).