Repère ou base de l'espace
Repère ou base de l'espace
Repère ou base de l’espace
Définition :
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{w}$ constituent une base de l’espace si et seulement si il n’existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{w}$ c’est à dire que lorsque :
$\alpha \overrightarrow{u}+ \beta \overrightarrow{v}+ \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ alors
$\alpha = \beta = \gamma=0$.
Cela signifie aussi que $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas coplanaires.
Utiliser un repère dans l’espace permet de trouver les coordonnées de points de l’espace, ce qui permet de résoudre certains problèmes.
Exemple 1 :
Soient ($\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$) une base de l’espace,
Soient $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{v} = -\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{k}$,
($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$) est-elle une base ?
Soient $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ tels que
$\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$
$\iff \alpha \overrightarrow{i}+3\alpha\overrightarrow{j} – \beta \overrightarrow{i}+ \beta \overrightarrow{j} + \gamma \overrightarrow{k} = \overrightarrow{0}$
$ \iff (2\alpha – \beta) \overrightarrow{i} + (3\alpha + \beta )\overrightarrow{j} + \gamma \overrightarrow{k} = \overrightarrow{0}$
Or ($\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$) est une base de l’espace, ce qui signifie que les trois réels multiplicateurs de la combinaison linéaire précédente sont nuls :
$\left \{ \begin{array}{lcc} \alpha – \beta &=& 0 \\ 3\alpha + \beta &=& 0 \\ \gamma &=& 0 \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} \alpha &=& \beta \\ 4\alpha &=& 0 \\ \gamma &=& 0 \end{array} \right.$
Ainsi, $\alpha = \beta = \gamma = 0$.
Donc ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$) est une base.
Exemple 2 :
On étudie ici la décomposition d’un vecteur sur une base.
Soit $ABCDEFGH$ un cube,
Soit $I$ milieu de $[FB]$,
On souhaite décomposer $\overrightarrow{HI}$ sur la base ($\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$), qui est une base car les vecteurs ne sont pas coplanaires car $(AE)$ n’appartient pas au plan $ABD$.
On décompose $\overrightarrow{HI}$ grâce à la relation de Chasles :
$\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{FI}$.
Il s’agit ensuite de faire apparaitre les vecteurs de la base, en utilisant les égalités de vecteurs dans un cube :
$\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} – \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AE}$.
Combinaisons linéaires et vecteurs de l'espace
Combinaisons linéaires de vecteurs de l’espace
Propriété :
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l’espace non nuls,
On dit que $\overrightarrow{w}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et de $\overrightarrow{v}$ s’il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tel que
$\overrightarrow{w}=\alpha \overrightarrow{u}+ \beta \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont alors coplanaires, c’est à dire qu’ils appartiennent à un même plan.
Exercice 1
Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit et $I$ cette de $ABCD$,
On pose $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{w} = 3\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IE}$
Montrer que $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
$\begin{aligned} \overrightarrow{u} &= 3 \overrightarrow{AB} \\ &= 3 \overrightarrow{AI} + 3\overrightarrow{IB} \\ &= 3 \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB} \\ &= 3 \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IE} + \overrightarrow{EB} +2\overrightarrow{IB} \\ &= \overrightarrow{w} – \overrightarrow{BE} – \overrightarrow{BD} && \text{car } I \text{ milieu de } [BD] \\ &= \overrightarrow{w} – \overrightarrow{v} \end{aligned}$
Ainsi, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
Exercice 2
Montrons que $\overrightarrow{IL}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont coplanaires.
Dans le repère $(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})$, déterminons les coordonnées des $I$, $J$ et $L$.
$I \left ( \dfrac{1}{2}; 0; 0 \right )$
$\begin{aligned} \overrightarrow{AL} &= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IL} \\ &= \overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{IJ} \\ &= \overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{IA} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AJ} \\ &= \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AJ} \\ &= \dfrac{1}{4} \overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{4} \overrightarrow{AD} \end{aligned}$
$L \left ( 0; \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{4} \right )$
Calculons à présent les vecteurs $\overrightarrow{IL}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$.
$\overrightarrow{IL} \left ( \begin{array}{c} – \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{4} \end{array} \right )$
$\overrightarrow{BC} \left ( \begin{array}{c} – 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right )$
$\overrightarrow{CD} \left ( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right )$
On peut alors remarquer que $\overrightarrow{IL} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \dfrac{1}{4} \overrightarrow{CD}$.
Ainsi, $\overrightarrow{IL}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont coplanaires.