Notation scientifique
Notation scientifique
Notation scientifique
La notation scientifique permet d’écrire des nombres décimaux grands ou petits d’une manière très claire et très encadrée.
La notation scientifique du nombre $n$ décimal est :
$n = a \times 10^p$, avec $1 \leq a < 10$ et $p$ un entier relatif.
Exemples :
Les nombres suivants sont-ils sous notation scientifique ?
$A = 14,3 \times 10^{-2}$. La réponse est non, car $a = 14,3 \geq 10$.
$B = 5,14 \times 10^6$. Il s’agit d’un nombre sous notation scientifique.
$C = 3,7 \times 10^{4,2}$. Ici, $p = 4,2$, ce n’est pas un entier relatif, donc $C$ n’est pas écrit sous forme scientifique.
Applications :
Ecrire les nombres suivants en notation scientifique.
a) $A = 14,3 \times 10^{-2}$.
Ce n’est pas un nombre sous notation scientifique. Il s’agit donc de transformer $A$.
On réécrit donc :
$A = (1,43 \times 10) \times 10^{-2} $
$A= 1,43 \times 10^1 \times 10^{-2} $
$A=1,43 \times 10^{1 -2} $
$A= 1,43 \times 10^{-1}$
b) $B = 0,0007 \times 10^2$.
Il faut donc décaler la virgule du premier facteur de 4 rangs vers la droite.
Pour garder le même résultat, on multiplie par $10^{-4}$.
Ainsi,
$B = (7\times 10^{-4}) \times 10^2 $
$B= 7 \times 10^{-4 + 2} $
$B= 7 \times 10^{-2}$
Les puissances. Propriétés et exemples
Les puissances. Propriétés
Définition
Soient $a$ un nombre réel et $n$ un entier, on étudie le nombre $a^n$, qui se lit $a$ puissance $n$.
$n$ correspond à l’exposant et indique le nombre de fois où le réel $a$ est multiplié par lui même.
Ainsi, $a^n = a \times a \times a …. \times a$ On multiplie le nombre $a$ $n$ fois par lui même.
Par convention $a^0 = 1$.
En outre, $a^1 = a$.
Exemples :
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
$10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 1 0000$.
Notation
Soient $n$ un entier et $a$ un nombre réel différent de 0,
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
Exemple :
$10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0,01$.
Propriétés des puissances de 10
$10 ^n$ correspond au nombre composé d’un $1$ puis de $n$ zéros.
$10^{-n}$ correspond au nombre composé de $n$ chiffres après la virgule, le dernier étant un 1, les autres des 0.
Exemples :
$10^7 = 10000000$.
$10^{-4} = 0,0001$.
Propriétés des puissances
Soient $a$ un nombre réel et $n, p$ des entiers,
$a^n \times a^p = a^{n + p}$.
Exemple : $4 \times 4^3 = 4^1 \times 4^3 = 4^{1 + 3} = 4^4$.
$\dfrac{a^n}{a^p} = a^n \times a^{-p} = a^{n – p}$, avec $a \neq 0$.
Exemple : $\dfrac{7^3}{7^4} = 7^{3 – 4} = 7^{-1} = \dfrac{1}{7}$.
$(a^n)^p =a^{n \times p}$
Exemple : $(10^2)^{-3} = 10^{2 \times (-3)} = 10^{-6}$.
Pièges à éviter :
$(-3)^2 \neq -3^2$, on ne peut pas enlever les parenthèses !
En effet, $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ et $-3^2 = -(3^2) = -9$.
$4^2 + 7^2 \neq 11^2$. Même si deux nombres différents ont le même exposant, on ne peut pas les ajouter !
$2^4 + 2^1 \neq 2^5$. On ne peut pas ajouter le même nombre avec des exposants différents !
$3^3 \times 4^3 = 12^3$. On peut ici réunir les nombres, mais uniquement dans la multiplication et si les exposants sont égaux !