Opérations sur les fractions
Opérations sur les fractions
Opérations sur les fractions
1) Somme ou différence de deux fractions
Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire, il faut qu’ils aient le même dénominateur.
On réduit donc les nombres au même dénominateur.
Exemples :
On souhaite calculer $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{9}$.
On ne peut pas additionner directement les deux nombres, on réduit donc ces fractions au même dénominateur.
Pour cela, on multiplie la première en haut et en bas par le dénominateur de la seconde et inversement.
Ainsi,
$\dfrac{2 \times 9}{5 \times 9} + \dfrac{1 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{18}{45} + \dfrac{5}{45}$
$\dfrac{2 \times 9}{5 \times 9} + \dfrac{1 \times 5}{9 \times 5}= \dfrac{23}{45}$.
On souhaite à présent calculer $\dfrac{3}{14} – \dfrac{1}{7}$.
Si on suivait la méthode précédente, on devrait multiplier la première fraction en haut et en bas par $7$ et la seconde en haut et en bas par $14$, mais cela compliquerait grandement les calculs.
Le bon point de vue ici consiste à remarquer que $14 = 7 \times 2$; autrement dit, en multipliant la deuxième fraction en haut et en bas par $2$, on obtiendrait deux nombres fractionnaires ayant le même dénominateur !
Ainsi,
$\dfrac{3}{14} – \dfrac{1}{7} = \dfrac{3}{14} – \dfrac{1 \times 2}{7 \times 2}$
$\dfrac{3}{14} – \dfrac{1}{7}= \dfrac{3}{14} – \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{14}$.
2) Produit de fractions
Multiplier deux fractions revient à effectuer le quotient du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs.
Exemples :
$\dfrac{3}{2} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{3 \times 5}{2 \times 4} = \dfrac{15}{8}$.
$\dfrac{8}{3} \times \dfrac{7}{4}$.
Avant de se lancer dans les calculs, il est bon de regarder si on ne peut pas simplifier.
On peut en effet remarquer que $8 = 4 \times 2$.
Dès lors,
$\dfrac{8}{3} \times \dfrac{7}{4} = \dfrac{4\times 2 \times 7}{3 \times 4} = \dfrac{2\times 7}{3} = \dfrac{14}{3}$.
3) Quotients de fractions
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Exemples :
$\dfrac{4}{5} \div \dfrac{11}{6} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{11}$
$\dfrac{4}{5} \div \dfrac{11}{6}= \dfrac{24}{55}$.
Les fractions - propriétés
Rappels 3e : Fractions
1) Somme, différence
Pour additionner deux fractions, ces dernières doivent avoir le même dénominateur et dans ce cas, il faut additionner les numérateurs.
Soient $a, b$ et $c$ trois réels tel que $b \neq 0$,
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}$.
Exemple : $1 + \dfrac{2}{3}$.
Pour calculer cette somme, il faut se souvenir que $1 = \dfrac{1}{1}$ ou encore en multipliant le numérateur et le dénominateur par 3 que $1 = \dfrac{3}{3}$.
Ainsi $1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3 + 2}{3} = \dfrac{5}{3}$.
2) Produit
Le produit de deux fractions ne nécessite pas que les fractions aient le même dénominateur. Ce produit est égal au rapport du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs.
Soient $a, b, c$ et $d$ tels que $b \neq 0$ et $d \neq 0$,
$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$.
Exemple : $\dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4 \times 2}{3 \times 5} = \dfrac{8}{15}$.
3) Quotient
Lors du quotient de deux fractions, il faut multiplier la première fraction par l’inverse de la seconde.
Soient $a, b, c$ et $d$ tels que $b, c, d$ non nuls,
$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$
Exemple :
$\dfrac{\dfrac{3}{4}}{15} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{15}= \dfrac{3}{4 \times 15} =\dfrac{3}{4 \times 3 \times 5}= \dfrac{1}{20}$.
4) Fraction d’un nombre
On souhaite par exemple calculer $\dfrac{4}{5}$ de 250€ qui revient à calculer le produit des deux :
$\dfrac{4}{5} \times 250 = 200$ €.