Développer et factoriser k(a+b)
Développer et factoriser k(a+b)
Développer et factoriser $k(a + b)$.
Définitions
$k(a +b)$ se lit $k$ facteur de $(a + b)$ où $a$, $b$ et $k$ sont trois nombres.
- Développer
Cela revient à distribuer $k$ à chacun des termes présents entre parenthèse.
Ainsi,
$k(a + b) = k\times a + k\times b$.
Développer permet donc de transformer un produit en une somme.
- Factoriser
A l’inverse, si on utilise l’égalité dans le sens suivant :
$k\times a + k\times b = k(a + b) $
On passe d’une somme à un produit : c’est la factorisation.
Pour factoriser une expression, il faut faire apparaitre le facteur commun aux deux termes de la somme.
Exemples :
- a) Développer $5(x + 2)$.
On distribue donc $5$ à $x$ puis à $2$. Ainsi,
$5(x + 2) = 5\times x + 5\times 2 $
$5(x + 2)= 5x + 10$.
- b) Développer $7(8 – x)$
On distribue donc $7$ à $8$ puis à $x$. Ainsi,
$7(8 – x) = 7\times 8 – 7\times x $
$7(8 – x) = 56 – 7x$
- c) Factoriser $6x + 12$
On remarque que $12 = 6 \times 2$, $6$ est donc le facteur commun. Ainsi,
$6x + 12 = 6\times x + 6 \times 2 $
$6x + 12 = 6(x + 2)$.
En développant cette expression, on retrouve l’expression initiale.
- d) Factoriser $21 – 7x$.
On remarque que $21$ est un multiple de $7$, donc $7$ est le facteur commun.
$21 – 7x = 7 \times 3 – 7 \times x $
$21 – 7x = 7 ( 3 -x )$.
- e) Factoriser $3 + 3x$.
Le facteur commun est $3$. Il faut cependant faire apparaitre dans chacun des termes un produit faisant intervenir $3$.
On se rappelle alors que $3 = 3 \times 1$. Ainsi,
$3 + 3x = 3\times 1 + 3 \times x
$3 + 3x= 3 (1 + x)$
Remarques :
On peut retrouver ce résultat à l’aide d’un rectangle de longueur $a + b$ et de largeur $k$.
Pour calculer l’aire de ce rectangle, on effectue le produit de la longueur par la largeur, c’est à dire $k(a + b)$.
Ou bien, on peut diviser le rectangle en deux rectangle de longueur $a$ et $b$, et l’aire vaut alors $ka + kb$, c’est à dire la somme des aires des deux rectangles.
Mais comme il s’agit du même rectangle, on a bien
$ k(a + b) = ka + kb$.
Si l’addition se transforme en soustraction, on a alors la formule suivante :
$k(a – b) = k\times a – k\times b$
Pour comprendre cette égalité, on peut aussi se référer à une situation géométrique.
On cherche ici à calculer l’aire du rectangle de longueur $a – b$ qui vaut $k(a -b)$.
Mais ce même calcul peut se faire en calculant l’aire du grand rectangle de longueur $a$ qui vaut $ka$ et en lui soustrayant l’aire du rectangle de côté $b$ valant $kb$, c’est à dire $ka – kb$.
