Loi exponentielle - Propriétés
Loi exponentielle - Propriétés
Loi exponentielle – Propriétés
Propriétés
On considère une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$.
Si $X\in [c;d]$, on a:
\( \displaystyle P(c\leqslant X \leqslant d)= \int \limits_{c}^{d}\lambda e^{-\lambda t}dt= \left[-e^{-\lambda t}\right]_c^d =e^{-\lambda c}-e^{-\lambda d} \)
Pour tout réel $a>0$ :
\( \displaystyle P( X \leqslant a)= \int \limits_{0}^{a}\lambda e^{-\lambda t}dt= 1 -e^{-\lambda a}\)
Par l’événement contraire, on a:
\( \displaystyle P( X \geqslant a)= 1-P(X\leqslant a) = e^{-\lambda a}\).
Espérance mathématique: \( \displaystyle E(X)=\frac{1}{\lambda}\)
Théorème
Une loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement c’est-à-dire:
Pour tous $t>0$ et $h>0$, on a :
\( \displaystyle P_{ X \geqslant t}( X \geqslant t+h) = P( X \geqslant h) = e^{-\lambda h}\)
Exemple
La durée de vie, en année, d’un composant électronique est une variable aléatoire notée $T$ qui suit une loi de durée de vie sans vieillissement de paramètre $\lambda$.
Une étude statistique a montré que pour ce type de composant, la durée de vie ne dépasse pas 5 ans avec une probabilité de 0,675.
1) Calculer la valeur $\lambda$ arrondie à trois décimales.
2) Quelle est la probabilité, arrondie à trois décimales, qu’un composant de ce type dure :
a) Moins de 8 ans ?
b) Plus de 10 ans ?
c) Au moins 8 ans sachant qu’il a déjà fonctionné trois ans ?
3) Quelle est l’espérance de vie de ce composant?
Correction
1) Comme $T$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, $T$ suit aussi une loi exponentielle.
Comme la durée de vie ne dépasse pas 5 ans avec une probabilité de 0,675, on a donc :
$P(T\leqslant 5)=0,675$
Or : $\displaystyle P(T \leqslant 5) = \int \limits_{0}^{5}\lambda e^{-\lambda t}dt=\left[-e^{-\lambda t}\right]_0^5= 1-e^{-5\lambda }$.
On en déduit : \( \displaystyle 1-e^{-5\lambda } = 0, 675 \iff e^{-5\lambda }= 0, 325 \iff -5\lambda = \ln (0,325)\)
On trouve finalement : \( \displaystyle \lambda = -\frac{\ln (0,325)}{5} \approx 0, 225\)
2) On a :
a) \( \displaystyle P(T < 8) = P(T \leqslant 8) = 1- e^{-0,225 \times 8} \approx 0,835 \)
b) \( \displaystyle P(T > 10) = P(T \geqslant 10) = e^{-0,225 \times 10} \approx 0,105 \)
c) \( \displaystyle P_{ T \geqslant 3}( T \geqslant 8) = P( T \geqslant 5) = e^{-0,225 \times 5} \approx 0,325 \)
3) \( \displaystyle E(T)=\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0,225} \approx 4,44 \)
L’espérance de vie du composant est donc d’environ 4 ans et demi.
Loi exponentielle sur [0 ; +infini[
Un rappel de cours sur la loi exponentielle sur [0 ; +infini[ en Maths TS.
Loi exponentielle sur $[0 ; +\infty[$
Définition
Soit $\lambda>0$ un paramètre réel.
Une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ si et seulement si la fonction densité $f$ de cette loi est définie sur $[0 ; +\infty[$ par:
\( \displaystyle f(x)= \lambda e^{-\lambda x}\)
$f$ est continue et positive et \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\int \limits_{0} ^{x}f(t)dt=1 \)
Ainsi, $f$ est bien une densité de probabilité.
Voici la représentation graphique du cas $\lambda=2$
Propriétés
La fonction de répartition vaut:
\( \displaystyle P(X \leqslant x) = \int \limits_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}dt=\left[-e^{-\lambda t}\right]_0^x \) ou encore :
\( \displaystyle P(X \leqslant x) = 1-e^{-\lambda x} \)
En utilisant l’événement contraire, on a :
\( \displaystyle P(X \geqslant x) = e^{-\lambda x} \)
