Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité dans $\mathbb{Z}$
Définition
Soient $a$ et $b$, deux entiers relatifs, avec $b$ non nul.
On dit que $b$ divise $a$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$.
On note $b|a$.
Propriétés
Pour $a$ non nul, $a|a$.
Pour $a$, $b$ et $c$ non nuls, si $a|b$ et $b|c$ alors $a|c$.
Exemple
Montrer que $N=a(a^2-1)$ est divisible par 6 lorsque $a \in \mathbb{N}$.
étape 1 : $N$ est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.
étape 2 : On réécrit $N$ grâce à une identité remarquable pour faire apparaître un produit de trois nombres consécutifs.
$N=a(a^2-1)$
$N=a(a-1)(a+1)$
$N=(a-1)a(a+1)$
étape 3 : Si $a$ est pair, on remplace $a$ par $2k$ ($k \in \mathbb{N}$).
$N=(2k-1)2k(2k+1)$
étape 4 : $N$ s’écrit sous la forme d’un produit d’un entier et de 2, donc $N$ est pair.
étape 5 : Si $a$ est impair, on remplace $a$ par $2k+1$.
$N=(2k+1)2k(2k+2)$
On arrive à la mÍme conclusion et $N$ est donc divisible par 2 dans tous les cas ($a$ pair ou impair).
étape 6 : Si $a$ est multiple de 3, alors $a=3k$. On remplace $a$ par $3k$.
$N=(3k-1)3k(3k+1)$ On en conclut que $N$ est multiple de 3.
étape 7 : On répËte la mÍme opération avec $a=3k+1$ puis avec $a=3k+2$.
Dans ces deux cas, on verra apparaître un multiple de 3. On en conclut que $N$ est divisible par 3.
$N$ est divisible par 2 et 3 donc $N$ est divisble par 6.
Division euclidienne dans $\mathbb{Z}$
Définition
Soient $a$ et $b$, deux entiers naturels et $b$ non nul.
Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ revient à déterminer l’unique couple $(q;r)$ d’entiers naturels tels que :
$a=bq+r$ avec $0\leqslant r<b$.
On nomme $q$ le quotient et $r$ le reste.
Exemple
Déterminer le quotient $q$ et le reste $r$ de la division euclidienne de 753 par 82.
On a : $753=82\times 9+15$.
On obtient donc : $q=9$ et $r=15$. On vérifie que 15 est strictement inférieur à 82
Les nombres premiers
Les nombres premiers
Définition
Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 2.
$n$ est premier si et seulement si $n$ admet deux diviseurs : 1 et lui-même.
Théorème
Tout $n\in \mathbb{N}$ avec $n\geq 2$ admet au moins un diviseur premier.
Si $n$ n’est pas premier et $n\geq 2$ alors il admet un diviseur premier compris entre 2 et $\sqrt{n}$
Décomposition en facteurs premiers
Théorème
Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de nombres premiers.
Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.
$\;n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times ……… p_r^{\alpha_r}\;$
Avec ${p_i}, {i \in \{1;r\}}$ sont des nombres premiers distincts et $\alpha_i, {i \in \{1;r\}}$ des entiers.
Exemple
On décompose 96 en produit de facteurs premiers :
étape 1 : On cherche à diviser 96 par un nombre premier.
étape 2 : On commence par le plus simple, à savoir 2.
étape 3 : On continue tant qu’on peut diviser par 2 ou par les entiers premiers suivants.
étape 4 : On s’arrête lorsque le reste vaut 1.
étape 5 : On peut donc réécrire 96 comme une décomposition de facteurs premiers :
$96=2^5 \times 3$
Matrice et système linéaire
Matrices et systèmes d’équations linéaires
Définition
On considère le système d’équations suivant :
$\left \{ \begin{array}{rccc}x+y+2z & = &9 \\ x-y+z&=&2 \\ 2x+y-z & = & 1 \\ \end{array} \right.$
Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :
$A =\begin{pmatrix}
1 & 1&2 \\
1 & -1&1\\
2 & 1&-1\\
\end{pmatrix}$ ; $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
z\\
\end{pmatrix} $ et
$B =\begin{pmatrix}
9\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}. $
Le système se traduit alors par : $AX=B$.
Propriété
Si $AX=B$ et $A$ inversible alors
$X=A^{-1} \times B$.
Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse $A^{-1}$ est donnée dans l’énoncé.
Etape 2 : On effectue le produit $X=A^{-1} \times B$.
Le calcul nous permet de conclure que :
$X =\begin{pmatrix}
1 \\
2\\
3\\
\end{pmatrix} $.
La solution du système est donc le triplet $(1;2;3)$.
Exemple avec un système linéaire d’équations d’ordre 2.
Résoudre le système d’équations suivant :
$\left \{ \begin{array}{rccc}2x-y & = &-8 \\3x+y& = &-7 \\ \end{array} \right.$
On peut le traduire par $AX=B$ avec :
$A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$ ; $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
\end{pmatrix} $ et
$B =\begin{pmatrix}
-8 \\
-7\\
\end{pmatrix}$.
En considérant $A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$, on vérifie que :
$ad-bc =5 \neq 0$.
On peut alors calculer :
$A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-3 & 2\\
\end{pmatrix}$
$\iff$ $A^{-1} = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix}$.
On a donc :
$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-8 \\
-7\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-\dfrac{15}{5} \\
\dfrac{10}{5}\\
\end{pmatrix}$.
$X=\begin{pmatrix}
-3 \\
2\\
\end{pmatrix}$.
La solution du système est le couple $(-3;2)$