Le symbole sigma
Le symbole sigma
Le symbole Sigma $\Large\Sigma$ permet de désigner la somme d’une famille finie de termes.
Par exemple $ \sum\limits_{k = p}^q U_k=U_p + U_{p + 1} +\ … +\ U_q$.
En effet, ici on souhaite calculer la somme des $U_k$ où $k$ est l’indice de sommation, pour $k$ variant de $p$ à $q$, avec $p, q \in \mathbb{N}$ et $p \leq q$.
Considérons un exemple concret : $ \sum\limits_{i = 1}^5 3^i$ qui se lit somme de $3^i$ pour $i$ variant de 1 à 5
$ \sum\limits_{i = 1}^5 3^i=3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5$.
$ \sum\limits_{i = 1}^5 3^i=3+9+27+81+243=363$
On remarquera que l’indice de sommation est muet, il n’intervient pas dans le résultat final : on peut donc prendre la lettre que l’on souhaite ($k, i, …$).
Ainsi, $ \sum\limits_{i = 1}^5 3^i= \sum\limits_{k = 1}^5 3^k= \sum\limits_{j = 1}^5 3^j$
Autre exemple :
$ \sum\limits_{i = 0}^3 2i-1= (2\times 0 -1)+(2\times 1 -1)+(2\times 2 -1)+(2\times 3 -1)$
$ \sum\limits_{i = 0}^3 2i-1=-1+1+3+5=8$
Congruences
Congruences dans $\mathbb{Z}$
Définition
Soit un entier $n$ supérieur à 2 et soient $a$ et $b$, deux entiers relatifs.
On dit que $a$ est congru à $b$ modulo $n$ si et seulement si $b-a$ est divisible par $n$.
On écrit $a\equiv b[n]$.
Propriétés
Soient $a$, $b$ et $c$ des entiers relatifs, $n$ et $p$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 :
$a\equiv a[n].$
Si $a\equiv b[n]$ et $b\equiv c [n]$ alors $a \equiv c[n]$.
Si $a \equiv b[n]$ alors $a+c \equiv b+c[n]$.
Si $a \equiv b[n]$ alors $ac\equiv bc[n]$.
Si $a \equiv b[n]$ alors $a^p\equiv b^p[n]$.
Exemple
Trouver le reste de la division euclidienne de $200^{539}$ par 17
étape 1 : On pose la division euclidienne de 200 par 17.
$200= 11 \times 17 +13$
étape 2 : On utilise la définition de la congruence.
$200-13 = 11\times 17$ donc $200$ est congru à $13$ modulo $17$.
On note $200\equiv 13[17]$
étape 3 : Avec un peu d’astuce, et en remarquant que $539 = 269\times 2 +1$, on a :
$200^{539}= (200^2)^{269} \times 200$
On sait que $200\equiv 13[17]$ .
Or la congruence est compatible avec les puissances. Ainsi :
$200^2\equiv 13^2[17]$
$200^2\equiv 169 [17]$
On donne la division euclidienne de $169$ par $17$ : $169 = 9\times 17 +16$. Ainsi :
$200^2 \equiv 16 [17]$
Ou encore $200^2 \equiv (-1) [17]$.
étape 4 : On utilise les résultats précédents et on essaie d’aboutir à une congruence positive.
On a : $200^2 \equiv (-1) [17]$ et $539 = 2 \times 269 +1$.
Ainsi $200^{539}=(200^2)^{269}\times 200$ et en utilisant les résultats précédents :
$200^{539} \equiv(-1)^{269} \times 13 [17]$
$200^{539} \equiv(-1) \times 13 [17]$
$200^{539} \equiv -13 [17]$
$200^{539} \equiv 4 [17]$
Conclusion : Le reste de la division euclidienne de $200^{539}$ par 17 vaut 4
Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité dans $\mathbb{Z}$
Définition
Soient $a$ et $b$, deux entiers relatifs, avec $b$ non nul.
On dit que $b$ divise $a$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$.
On note $b|a$.
Propriétés
Pour $a$ non nul, $a|a$.
Pour $a$, $b$ et $c$ non nuls, si $a|b$ et $b|c$ alors $a|c$.
Exemple
Montrer que $N=a(a^2-1)$ est divisible par 6 lorsque $a \in \mathbb{N}$.
étape 1 : $N$ est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.
étape 2 : On réécrit $N$ grâce à une identité remarquable pour faire apparaître un produit de trois nombres consécutifs.
$N=a(a^2-1)$
$N=a(a-1)(a+1)$
$N=(a-1)a(a+1)$
étape 3 : Si $a$ est pair, on remplace $a$ par $2k$ ($k \in \mathbb{N}$).
$N=(2k-1)2k(2k+1)$
étape 4 : $N$ s’écrit sous la forme d’un produit d’un entier et de 2, donc $N$ est pair.
étape 5 : Si $a$ est impair, on remplace $a$ par $2k+1$.
$N=(2k+1)2k(2k+2)$
On arrive à la mÍme conclusion et $N$ est donc divisible par 2 dans tous les cas ($a$ pair ou impair).
étape 6 : Si $a$ est multiple de 3, alors $a=3k$. On remplace $a$ par $3k$.
$N=(3k-1)3k(3k+1)$ On en conclut que $N$ est multiple de 3.
étape 7 : On répËte la mÍme opération avec $a=3k+1$ puis avec $a=3k+2$.
Dans ces deux cas, on verra apparaître un multiple de 3. On en conclut que $N$ est divisible par 3.
$N$ est divisible par 2 et 3 donc $N$ est divisble par 6.
Division euclidienne dans $\mathbb{Z}$
Définition
Soient $a$ et $b$, deux entiers naturels et $b$ non nul.
Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ revient à déterminer l’unique couple $(q;r)$ d’entiers naturels tels que :
$a=bq+r$ avec $0\leqslant r<b$.
On nomme $q$ le quotient et $r$ le reste.
Exemple
Déterminer le quotient $q$ et le reste $r$ de la division euclidienne de 753 par 82.
On a : $753=82\times 9+15$.
On obtient donc : $q=9$ et $r=15$. On vérifie que 15 est strictement inférieur à 82