Définition du logarithme népérien
Définition du logarithme népérien
Définition du logarithme népérien
Définition
La fonction logarithme népérien est l’unique fonction $f$, définie et dérivable sur $]0; +\infty[$ qui vérifie $\begin{array}{l} f(1) = 0 \\ f'(x) = \dfrac{1}{x} \end{array}$
On remarquera ici que l’on définit la fonction $f$ à partir de sa dérivée.
En outre, on peut noter que l’on ne connaissait jusqu’à présent pas de fonction dont la dérivée valait $\dfrac{1}{x}$.
En supposant que le cours portant sur les intégrales a déjà été étudié, on peut alors définir la fonction logarithme népérien, que l’on note $\ln$ comme étant la primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $]0; +\infty[$ et qui s’annule en $1$.
Ainsi, pour tout réel $x > 0$,
$\ln x = \displaystyle \int_1^x \dfrac{1}{t} dt$
On notera que lorsque $x = 1$, $\ln 1 = \displaystyle \int_1^1 \dfrac{1}{t} dt = 0$.
Graphiquement, la fonction $\ln x$ correspond à l’aire sous la courbe de la fonction inverse, comprise entre les droites verticales d’abscisse $1$ et $x$.
Définition de l'intégrale
Définition de l’intégrale
Définition
Soit (O,$\overrightarrow {i}$,$\overrightarrow {j}$) un repère orthonormé et une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a,b]$.
$\mathcal{D}$ est le domaine du plan délimité par $x$=$a$ , $x$=$b$, l’axe des abscisses et $\mathcal{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$.
L’intégrale de $f$ sur $[a,b]$ notée $ \displaystyle \int \limits_a^b f (t)dt$ est l’aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ exprimée en unités d’aire.
Exemple
Calculer $I = \displaystyle \int_{1}^4 x dx = \int_{1}^4 t dt$ ($x$ et $t$ sont des variables muettes).
Etape 1 : On repère l’aire recherchée.
Etape 2 : On remarque qu’il s’agit d’un trapèze rectangle.
Etape 3 : La formule du calcul d’aire du trapèze rectangle est connue. On peut l’utiliser pour calculer l’intégrale :
$ A = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$
$ A = \dfrac{5 \times 3}{2}$
Finalement, $I = \dfrac{15}{2}$ (exprimée en unité d’aire)
Cas d’une fonction non positive
Le signe d’une aire est toujours positif en revanche celui d’une intégrale va dépendre de la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.
Ainsi, on pourrait avoir $I$:
$I= \displaystyle \int \limits_a^b f (t)dt=- \mathcal {A}_1+ \mathcal {A}_2-\mathcal {A}_3+\mathcal {A}_4$
Les $ \mathcal A_{i}$ sont les aires respectives des quatre domaines representés sur le graphique.
Exemple
Voici comment représenter: $\displaystyle \int \limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx$
$I = \displaystyle \int \limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx =- \mathcal {A}_1+ \mathcal {A}_2$
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels dans l’intervalle $I$ tels que $a\leqslant b $.
Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.
Illustration graphique
La fonction représentée en bleu est continue sur $I=[a,b]$.
Pour $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, on remarque graphiquement qu’il existe un $c_1$ dans $[a,b]$ tel que $f(c_1)=k$.
On voit, aussi qu’il existe deux autres $c_2$ et $c_3$ dans $[a,b]$ tels que $f(c_2)=k$ et $f(c_3)=k$. (D’où, dans le théorème, l’importance de l’expression “au moins”)
Cas des fonctions strictement monotones
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$ avec $a\leqslant b$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.
Illustration graphique
La fonction représentée en bleu est continue et strictement croissante sur $I=[2,4]$.
Pour $k$ compris entre $f(2)$ et $f(4)$, on remarque graphiquement qu’il existe un unique $c$ dans $[2,4]$ tel que $f(c)=k$.