Calculs d'intégrales
Calculs d'intégrales
Calculs d’intégrales
Propriété
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.
Soit $F$, une primitive de \(f\) sur $I$.
Pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a :
$\displaystyle\int_{a}^b f(t) dt= F(b)- F(a) $ que l’on note aussi
$\displaystyle\int_{a}^b f(t) dt=\left[F(t)\right]_{a}^b$
Exemples
Calculer :
$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}dx\).
$J$=\(\displaystyle \int_{0}^1 x(2x^2-1)^3 dx\).
Correction
Calcul de $I$
Étape 1 : La fonction $f(x)= \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}$ est définie et continue sur $[1;2]$.
On décompose l’expression en trois fractions de dénominateur commun.
$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 (\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2})dx\)
$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 (1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2})dx\)
$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 dx+ \int_{1}^2\dfrac{3}{x}dx+ \int_{1}^2\dfrac{1}{x^2}dx\)
Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.
$I$= \(\displaystyle \left[x+3\ln x-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^2\)
Étape 3 : On calcule $F(2)-F(1)$.
$I$= \(\displaystyle (2+3\ln 2-\dfrac{1}{2})-(1+3\ln 1-\dfrac{1}{1})\)
$I$= \(\displaystyle \dfrac{3}{2}+3\ln 2 \) (unité d’aire).
Calcul de $J$
On pose : $u(x)=2x^2-1$ et $u'(x)=4x$.
On modifie l’expression pour la faire apparaître sous la forme $u’\times u^3$.
$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4} \int_{0}^1 4x(2x^2-1)^3 dx \)
$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{4}(2x^2-1)^4\right]_{0}^1 \)
$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left((\dfrac{1}{4}(1)^4)-(\dfrac{1}{4}(-1)^4)\right)\)
$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)\)
$J$= $0$
Loi uniforme sur [a ; b]
Loi uniforme sur un intervalle $[a;b]$
Définition
$X$, une variable aléatoire suit une loi uniforme sur $[a;b]$ si et seulement si la fonction de densité de probabilité est :
\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{b-a}\).
On vérifie que \( \displaystyle \int \limits_a^{b}f(x)dx=1\).
Propriétés
Pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[a;b]$, on a:
\( \displaystyle P(c\leqslant X \leqslant d)=\frac{d-c}{b-a}\).
Exemple
1) On choisit un nombre réel au hasard dans l’intervalle $[0 ;5]$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre choisi.
a)Quelle est la probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 ?
b)Compris entre $e$ et $\pi$ ?
Correction
1 a) $X$ suit la loi uniforme sur $[0;5]$. La probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 est :
$P(X > 4) = P( 4 < X\leq 5)=\displaystyle\frac{5-4}{ 5-0}=\displaystyle\frac{1}{ 5}$
1 b) La probabilité que ce nombre soit compris entre $e$ et $\pi$ est :
$\displaystyle P(e \leqslant X \leqslant \pi) = \frac{\pi – e}{5-0} \approx 0, 085$
Espérance mathématique – Propriétés
Si $X$ suit une loi uniforme sur un intervalle $I = [a; b]$, alors son espérance mathématique vaut :
\( \displaystyle E(X)=\int \limits_a^{b}tf(t)dt= \int \limits_a^{b}t\times \frac{1}{b-a}dt \)
Soit après calcul :
\( \displaystyle E(X)=\frac{a+b}{2}\).
Remarque :
Dans l’exercice précédent, on trouve : $E(X) =\displaystyle \frac{0+5}{2}= 2,5$.
La boucle Pour
La boucle Pour
Dans un algorithme, il est possible de vouloir écrire une boucle que l’on souhaite répéter un nombre de fois connu : on utilise alors une boucle Pour.
Exemple :
On souhaite lancer $n$ fois un dé à six faces et afficher à chaque fois la face obtenue.
Un algorithme qui traduit cet exemple est le suivant.
Variables : $n, f$ (où $n$ est le nombre de répétitions de la boucle, c’est à dire le nombre de lancés et $f$ la face obtenue lors d’un lancé)
Entrée : Saisir $n$ (on indique le nombre de fois que l’on souhaite lancer le dé)
Traitement : (on écrit la boucle Pour, on utilise un nombre $i$ appelé compteur qui varie de 1 à 6 et qui compte ainsi le nombre de répétitions des opérations comprises entre les instructions Pour et Fin Pour)
Pour $i$ allant de 1 à $n$
nombre_entier(1, 6) $\to f$ (il s’agit d’une fonctionnalité préexistante qui permet de donner un nombre entier compris entre 1 et 6 aléatoirement)
Afficher $f$
Fin Pour
Sortie
Sans les commentaires, l’algorithme est donc :
- Variables : $n, f$
- Entrée : Saisir $n$
- Traitement : Pour $i$ allant de 1 à $n$
nombre_entier(1, 6) $\to f$
Afficher $f$
Fin Pour
- Sortie
Remarque :
On considère par exemple que l’on souhaite faire $n = 3$ lancés.
Au début $i$ vaut 1. La fonction nombre_entier(1, 6) donne la face obtenue puis on l’affiche.
On recommence ensuite la boucle, $i$ vaut alors 2. A nouveau, la fonction nombre_entier(1, 6) donne la face obtenue puis on l’affiche.
On recommence de même la boucle, $i$ vaut alors 3. On obtient un nombre au hasard que l’on affiche.
Enfin, $i$ valant 3, on quitte la boucle et le programme se termine.
Si on avait écrit l’instruction “Afficher $f$” en dehors de la boucle, l’algorithme aurait alors stocké 6 fois une face et aurait à la fin de la boucle affiché la dernière face obtenue.