Equations et nombres complexes
Equations et nombres complexes
Résolution d’équations avec des nombres complexes
Equations du premier degré
Il y a deux formes d’équations du premier degré avec solutions complexes :
$\bullet$ $az+b=0$ avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{C}$, dont la résolution se fait comme pour une équation du premier degré avec des réels.
$\bullet$ $az+b\bar z +c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ dans $\mathbb{C}$ dont la résolution se fait en remplaçant $z$ par sa forme algébrique : $z=a+ib$.
Exemple
Trouver la ou les solutions de l’équation $(E) : z-\bar z+i=0$.
On pose $z=a+ib$ la forme algébrique de $z$. On remplace cette forme algébrique de $z$ dans l’équation $(E)$ :
$(a+ib)-\overline{(a+ib)}+i=0 \Leftrightarrow a+ib-(a-ib)+i=0 \Leftrightarrow 2ib=-i \Leftrightarrow b=-\dfrac12$
Ainsi, les solutions de $(E)$ sont tous les nombres complexes s’écrivant :
$z=a-\dfrac12 i$, avec $a$ réel.
Equations du second degré
La forme générale d’une équation du second degré est la suivante :
$\boxed{az^2+bz+c=0}$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.
La résolution de cette équation est semblable à celle d’une équation du second degré avec des réels, c’est-à-dire qu’il s’agit de calculer le discriminant de l’équation :
$\Delta=b^2-4ac$
Il y aura tout de même des solutions dans le cas du discriminant négatif :
$\bullet$ Si $\Delta >0$, les deux solutions réelles sont : $z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.
$\bullet$ Si $\Delta=0$, la solution est $z_0=-\dfrac{b}{2a}$.
$\bullet$ Si $\Delta<0$,les deux solutions complexes sont : $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
Exemple
Trouver les solutions de l’équation : $(F) : z^2+4z+\dfrac{25}{4}=0$.
On a $\Delta = 16-25=-9 <0$ donc les deux solutions sont :
$z_1=\dfrac{-4+3i}{2}$ et $z_2=\dfrac{-4-3i}{2}$.
Forme trigonométrique et exponentielle
Formes trigonométriques et exponentielles
Définition
On considère un nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.
On note $|z|$ le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$.
On a alors : $\boxed{z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))}$
On appelle alors la quantité $|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ la forme trigonométrique de $z$.
En posant $e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$, on obtient la forme exponentielle de $z$ :
$ \boxed{z=|z|e^{i\theta}}$
Exemple
Donner les formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes suivants :
$a=1+i$ ; $b=i$ et $c=2+2i\sqrt3$
Une méthode consiste à calculer le module du nombre complexe et par la suite de diviser ce nombre par son module pour trouver son argument.
En effet,
si $z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$
alors $\dfrac{z}{|z|}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.
Ainsi,
$|a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ puis
$\dfrac{a}{|a|}=\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2} = \cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})$.
Finalement :
$a= \sqrt2 \left[\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})\right]= \sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$.
De même,
$|b|=\sqrt{1^2}=1$ puis
$\dfrac{b}{|b|}=i = \cos(\dfrac{\pi}{2})+i\sin(\dfrac{\pi}{2})$.
Finalement :
$b= \cos(\dfrac{\pi}{2})+i\sin(\dfrac{\pi}{2})= e^{i\frac{\pi}{2}}$.
Enfin,
$|c|=\sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=4$ puis
$\dfrac{c}{|c|}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2} = \cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})$.
Finalement :
$c= 4 \left[\cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})\right]= 4 e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Argument et angle formé par deux vecteurs
A savoir par coeur :
Soient \(A(z_A), B(z_B), C(z_C), D(z_D)\) quatre points d’un plan complexe.
\(arg \left(\dfrac{z_D – z_C}{z_B – z_A}\right) = (\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}) [2\pi]\)
Ainsi \( arg \left(\dfrac{z_D – z_C}{z_B – z_A}\right)\) est égal à l’angle formé entre les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) modulo \(2\pi\).