Trigonométrie
Annale – Programme de calcul, développements, Pythagore, trigonométrie
Trigonométrie
Trigonométrie
La trigonométrie permet de mettre en relation des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.
Vocabulaire
L’hypoténuse correspond au plus grand côté, en face de l’angle droit.
Le côté touchant l’angle $\widehat{B}$ autre que l’hypoténuse est appelé le côté adjacent.
Le côté en face de l’angle $\widehat{B}$ est appelé le côté opposé.
On définit ainsi le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle $\widehat{B}$ par :
$\cos \widehat{B} = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\sin \widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\tan \widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de ses définitions est :
CAH-SOH-TOA :
Cosinus = Adjacent divisé par l’Hypoténuse,
Sinus = Opposé divisé par l’Hypoténuse,
Tangente = Opposé divisé par Adjacent
Propriétés
Le cosinus et le sinus d’un angle sont reliés par la relation suivant : $(\cos \widehat{B})^2 + (\sin \widehat{B})^2 = 1$
Enfin, la tangente d’un angle peut être définie à partir du sinus et du cosinus de l’angle :
$\tan \widehat{B} = \dfrac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}}$
Exemple :
On cherche la valeur de l’angle $\widehat{M}$.
Il s’agit donc de déterminer si il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente.
Ici, l’hypoténuse est donné ainsi que le côté adjacent : on utilise donc le cosinus.
Ainsi, $\cos \widehat{M} = \dfrac{MO}{MP}$
$\cos \widehat{M} = \dfrac{6}{11}\approx 0,545$
Donc en utilisant la calculatrice pour déterminer l’angle en connaissant la valeur de son cosinus on trouve $\widehat{M} \approx 56,9°$
Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$
Ou encore :
la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré de l’hypoténuse.
Cette relation permet, en connaissant la longueur de deux côtés, de trouver la longueur du dernier côté.
Exemple :
Soit $OMP$ un triangle rectangle en $O$, tel que $OM = 5 $ et $MP = 13$.
D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $OMP$ rectangle en $O$,
${OM}^2 + {OP}^2 = {MP}^2$
$5^2 + {OP}^2 = {13}^2$
$25 + {OP}^2 = 169$
${OP}^2 = 169 – 25$
${OP}^2 = 144$
$OP = \sqrt{144}$
$OP = 12$
Réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque du théorème de Pythagore
Soit $ABC$ un triangle,
si ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$, alors $ABC$ est un triangle rectangle en $A$
ou encore
si la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré du troisième alors le triangle est rectangle et le troisième côté est l’hypoténuse.
Ce théorème permet de prouver qu’un triangle est rectangle en connaissant la valeur de ses côtés.
Exemple :
Soit un triangle $RST$ tel que $RT = 1,2$ $TS = 1,6$ $RS = 2$.
Si l’énoncé ne fournit pas de schéma, il est utile d’en faire un à main levée qui respecte les proportions (le plus grand côté sur le schéma correspond au plus grand côté du triangle $RST$).
Si ce triangle est rectangle, alors son hypoténuse est $RS$ car c’est le plus grand côté.
On calcule alors ${RS}^2$ que l’on compare à ${RT}^2 + {TS}^2$.
Ainsi, ${RS}^2 = 2^2 = 4$.
De même, ${RT}^2 + {TS}^2 = {1,2}^2 + {1,4}^2 = 1,44 + 2,56 = 4$.
Donc ${RS}^2 = {RT}^2 + {TS}^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $T$.
Double distributivité
Double distributivité
La formule de la double distributivité est la suivante :
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Exemples :
a) Développer $(x + 2)(3x + 4)$.
On applique la formule avec $a = x, b = 2, c = 3x$ et $d = 4$.
Ainsi,
$(x + 2)(3x + 4) = x \times 3x + x \times 4 + 2 \times 3x + 2 \times 4 $
$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 4x + 6x + 8$
La dernière étape du calcul consiste à regarder si il est possible d’effectuer une réduction, en regroupant les termes semblables.
Finalement,
$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 10x + 8$.
b) Développer $(5x – 7)(6 – 2x)$.
L’astuce consiste à réécrire, lorsque l’on débute, le produit sous la forme
$(5x – 7)(6 – 2x) = (5x + (- 7))(6 + (- 2x))$.
Ainsi, on applique la formule avec $a = 5x, b = -7, c = 6$ et $d = -2x$.
On trouve alors que :
$(5x – 7)(6 – 2x) =(5x + (- 7))(6 + (- 2x))$
$(5x – 7)(6 – 2x) = 30x – 10x^2 + – 42 + 14x$
$(5x – 7)(6 – 2x) = -10x^2 + 44x – 42$
c) Développer $(1 + y)(2y – 3)$
$(1 + y)(2y – 3) = 2y – 3 + 2y^2 -3y $
$(1 + y)(2y – 3) = 2y^2 – y -3$.
Triangles semblables
Triangles semblables
Définition
Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont les mêmes angles deux à deux.
Deux triangles peuvent être semblables sans avoir les mêmes longueurs.
Exemple :
Les triangles $ABC$ et $A’B’C’$ sont semblables.
Propriété :
Si deux triangles ont leurs côtés respectivement proportionnels alors ils sont semblables.
Exemple :
Soient deux triangles $SKI$ et $TOC$.
Considérons le rapport des longueurs.
On commence par calculer le rapport des longueurs les plus grandes dans le triangle :
$\dfrac{TO}{SI} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$.
On calcule ensuite le rapport des longueurs “moyennes” :
$\dfrac{CO}{SK} = \dfrac{7,5}{5} = \dfrac{3}{2}$.
Enfin, on calcule le rapport des plus petites longueurs :
$\dfrac{TC}{IK} = \dfrac{4,5}{3} = \dfrac{3}{2}$.
Ainsi, les longueurs des triangles sont proportionnelles : les triangles sont donc semblables.
Leurs angles sont donc égaux deux à deux.