Théorème de Thalès
Annale – Pythagore, Thalès, trigonométrie, transformations du plan
Théorème de Thalès
Théorème de Thalès
Il existe deux situations où l’on peut appliquer le théorème de Thalès qui sont représentées par le schémas ci-dessous.
Deux droites doivent donc être sécantes et sont coupées par deux droites parallèles.
Théorème
Si $O, A, M$ alignés
$O, B, P$ alignés
$(AB)\ // \ (MP)$
Alors $\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{OP} = \dfrac{AB}{MP}$.
Le point $O$ est appelé le point charnière.
Ce théorème permet d’obtenir des quotients de longueurs, permettant ainsi de trouver des d’autres longueurs.
Exemple :
Les points $R, S, U$ sont alignés ainsi que les points $T, R, V$.
Les droites $(ST)$ et $(VU)$ sont parallèles. Donnons une valeur approchée de $RV$ à $10^{-2}$.
D’après le théorème de Thalès, $\dfrac{RU}{RS} = \dfrac{RV}{RT} = \dfrac{VU}{ST}$.
$\dfrac{64}{12} = \dfrac{RV}{10}$
$12 \times RV = 10 \times 64$
$RV = \dfrac{640}{12} \approx 53,33$
NB : à la toute fin de la vidéo, il y a une erreur de calcul, 640/12=53,3 et non 48 🙂 !!
Trigonométrie
Trigonométrie
La trigonométrie permet de mettre en relation des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.
Vocabulaire
L’hypoténuse correspond au plus grand côté, en face de l’angle droit.
Le côté touchant l’angle $\widehat{B}$ autre que l’hypoténuse est appelé le côté adjacent.
Le côté en face de l’angle $\widehat{B}$ est appelé le côté opposé.
On définit ainsi le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle $\widehat{B}$ par :
$\cos \widehat{B} = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\sin \widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\tan \widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de ses définitions est :
CAH-SOH-TOA :
Cosinus = Adjacent divisé par l’Hypoténuse,
Sinus = Opposé divisé par l’Hypoténuse,
Tangente = Opposé divisé par Adjacent
Propriétés
Le cosinus et le sinus d’un angle sont reliés par la relation suivant : $(\cos \widehat{B})^2 + (\sin \widehat{B})^2 = 1$
Enfin, la tangente d’un angle peut être définie à partir du sinus et du cosinus de l’angle :
$\tan \widehat{B} = \dfrac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}}$
Exemple :
On cherche la valeur de l’angle $\widehat{M}$.
Il s’agit donc de déterminer si il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente.
Ici, l’hypoténuse est donné ainsi que le côté adjacent : on utilise donc le cosinus.
Ainsi, $\cos \widehat{M} = \dfrac{MO}{MP}$
$\cos \widehat{M} = \dfrac{6}{11}\approx 0,545$
Donc en utilisant la calculatrice pour déterminer l’angle en connaissant la valeur de son cosinus on trouve $\widehat{M} \approx 56,9°$
Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$
Ou encore :
la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré de l’hypoténuse.
Cette relation permet, en connaissant la longueur de deux côtés, de trouver la longueur du dernier côté.
Exemple :
Soit $OMP$ un triangle rectangle en $O$, tel que $OM = 5 $ et $MP = 13$.
D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $OMP$ rectangle en $O$,
${OM}^2 + {OP}^2 = {MP}^2$
$5^2 + {OP}^2 = {13}^2$
$25 + {OP}^2 = 169$
${OP}^2 = 169 – 25$
${OP}^2 = 144$
$OP = \sqrt{144}$
$OP = 12$