Les suites géométriques
Les suites géométriques
Définition
Soit $q$ un réel et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite à valeurs réelles.
On dit que $(u_n)$ est une suite géométrique si, et seulement si :
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}=q\times u_n$
$ u_0 \underset{\times q}{\longrightarrow} u_1 \underset{\times q}{\longrightarrow} u_2 \underset{\times q}{\longrightarrow} \cdots \underset{\times q}{\longrightarrow} u_{n-1}\underset{\times q}{\longrightarrow} u_n \underset{\times q}{\longrightarrow} u_{n+1}$
On dit alors que $q$ est la raison de la suite géométrique $(u_n)$ et $u_0$ son premier terme.
Expression de $u_n$ en fonction de $n$
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.
Si $u_0$ est le premier terme de la suite $(u_n)$, on peut démontrer facilement par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$,
$u_n=u_0\times q^n$.
On peut encore écrire cette égalité de la manière suivante :
$u_n=u_p\times q^{n-p}$ avec $p\leqslant n$.
Somme de termes consécutifs
On souhaite calculer la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique $(u_n)$.
La somme se calcule de la manière suivante :
$\text{Somme}=\text{(1er terme)} \times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
Comment montrer qu'une suite est géométrique ?
Comment montrer qu’une suite est géométrique ?
Afin de montrer qu’une suite $(u_n)$ est géométrique, on commence par calculer les premiers termes en s’assurant qu’ils ne sont pas nuls puis on calcule les rapports des premiers termes : $\dfrac{u_1}{u_0}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}$.
Considérons par exemple la suite $u_n = 4 \times 3^n$. On a alors $\dfrac{u_1}{u_0} = 3$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = 3$.
Si il apparait que le rapport des premiers termes est une constante $q$: on émet alors une conjecture en supposant que la constante ainsi trouvée est la raison de la suite.
Il faut alors montrer en revenant à la définition d’une suite géométrique que $u_{n + 1} = q \times u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
En revenant à notre exemple, on souhaite montrer que $u_{n + 1} = 3 u_n$.
Or :
$3 u_n = 3 \times ( 4 \times 3^n ) $
$3 u_n= 4 \times 3^{n + 1} $
$3 u_n= u_{n + 1}$.
Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 4 \times 3^0 = 4 \times 1 = 4$.
La boucle Tant que
La boucle Tant que
Lors de certains algorithmes, il est possible d’utiliser des boucles dont on ignore le nombre de répétitions : ce sont les boucles Tant que.
Exemple :
on dispose d’une population d’individus de 3000 habitants qui augmente chaque année de 2%.
On se demande au bout de combien d’années la population aura dépassé 4000 habitants mais on ignore le nombre d’années : on utilise donc une boucle Tant que.
On écrit donc un algorithme qui permettra de trouver le nombre d’années $N$ pour que la population $P$ dépasse 4000.
- Variables : $N, P$
- Entrée : $3000 \to P$
$0 \to N$
- Traitement : (on traduit la question avec un boucle)
Tant que $P < 4000$ (on souhaite connaitre l’année où la population dépasse 4000 habitants donc tant qu’elle est inférieure à 4000 on continue les calculs et on arrête la première fois qu’elle dépasse 4000).
$ P + 0,02P \to P$
$N + 1 \to N$
Fin Tant que
- Sortie : Afficher $N$
Sans les commentaires, l’algorithme est :
Variables : $N, P$
Entrée : $3000 \to P$
$0 \to N$
Traitement : Tant que $P < 4000$
$P + 0,02P \to P$
$N + 1 \to N$
Fin Tant que
Sortie : Afficher $N$
On peut regarder les différentes valeurs que prennent $N$ et $P$ au début et à la fin de l’algorithme.
Ainsi, au bout d’un an, la population atteint 3060 habitants, $P = 3060$ et $N=1$.
Or $P < 4000$, on continue donc les calculs.
Au bout de 14 années, la population vaut environ $P \approx 3958$.
Mais un an plus tard, au bout de 15 ans, la population vaut $P \approx 4037 > 4000$.
On ne rentre donc plus dans la boucle Tant que et on affiche la valeur de $N$ c’est à dire 15.
Ainsi, il aura fallu 15 ans pour que la population dépasse 4000 habitants.
Le tableau d’avancement du programme est le suivant :
| $P$ | $N$ |
| 3000 | 0 |
| 3060 | 1 |
| $\vdots$ | $\vdots$ |
| $\approx 3958$ | 14 |
| $\approx 4037$ | 15 |