Asymptotes à une courbe

Asymptotes

Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = l\)

alors \(y = l\) est une asymptote de \(C_f\) au voisinage de \(+\infty\).

Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty\)

alors \(x = a\) est une asymptote de \(C_f\) au voisinage de \(a\).

Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) – (ax + b) = 0\)

alors la droite d’équation \(y = ax + b\) est une asymptote oblique à \(C_f\) au voisinage de \(+\infty\).

Soient

\(f(x) = \frac{2}{x+3}\) et \(\Delta : x = -3\)

\(g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} – 2\) et \(\Delta’ : y = -2\)

\(h(x) = 2x – 7 + \frac{1}{x}\) et \(\Delta” : y = 2x – 7\)

Étudions le comportement de chaque courbe par rapport à \(\Delta\), \(\Delta’\) et \(\Delta”\).

Ce qu’il faut savoir faire :

Étape 1 : Pour l’asymptote verticale, on calcule la limite quand \(x\) tend vers \(-3\).
Étape 2 : Pour l’asymptote horizontale, on calcule la limite quand \(x\) tend vers \(+/- \infty\). Elle doit être égale à \(-2\).
Étape 3 : Pour l’asymptote oblique, on calcule la limite en l’infini de la différence entre \(h\) et \(\triangle\). Elle doit être égale à \(0\). (N’est plus au programme 2012-2013.)