Calculs d’intégrales

Calculs d'intégrales

Calculs d’intégrales

Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

Soit $F$, une primitive de \(f\) sur $I$.

Pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a :

$\displaystyle\int_{a}^b  f(t) dt= F(b)- F(a) $   que l’on note aussi

 $\displaystyle\int_{a}^b  f(t) dt=\left[F(t)\right]_{a}^b$

Exemples

Calculer :

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}dx\).

$J$=\(\displaystyle \int_{0}^1 x(2x^2-1)^3 dx\).

Correction

Calcul de $I$

Étape 1 : La fonction $f(x)= \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}$ est définie et continue sur $[1;2]$.

On décompose l’expression en trois fractions de dénominateur commun.

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 (\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2})dx\)

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 (1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2})dx\)

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 dx+ \int_{1}^2\dfrac{3}{x}dx+ \int_{1}^2\dfrac{1}{x^2}dx\)

Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.

$I$= \(\displaystyle \left[x+3\ln x-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^2\)

Étape 3 : On calcule $F(2)-F(1)$.

$I$= \(\displaystyle (2+3\ln 2-\dfrac{1}{2})-(1+3\ln 1-\dfrac{1}{1})\)

$I$= \(\displaystyle \dfrac{3}{2}+3\ln 2 \)  (unité d’aire).

Calcul de $J$

On pose : $u(x)=2x^2-1$ et $u'(x)=4x$.

On modifie l’expression pour la faire apparaître sous la forme $u’\times u^3$.

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4} \int_{0}^1 4x(2x^2-1)^3 dx \)

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{4}(2x^2-1)^4\right]_{0}^1 \)

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left((\dfrac{1}{4}(1)^4)-(\dfrac{1}{4}(-1)^4)\right)\)

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)\)

$J$= $0$