La fonction exponentielle
La fonction exponentielle
La fonction exponentielle
Définition
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a
$\left \{ \begin{array}{l} f'(x) = f(x) \\ f(0) = 1 \\ \end{array} \right.$
Cette fonction est appelée la fonction exponentielle, et est égale à sa dérivée.
On note cette fonction $f(x) = \exp(x)$.
Ainsi, $f'(x) = \exp(x)$.
Propriétés
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) > 0$.
On sait aussi que $\exp(0) = 1$ donc $f'(0) = 1$.
Cela permet donc d’écrire l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ :
$T_0 : y = f'(0)(x – 0) + f(0) = x + 1$.
Application à la dérivation
Soit $f$ une fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = x \exp(x)$.
On pose $u(x) = x$ et $v(x) = \exp(x)$.
On a alors $u'(x) = 1$ et $v'(x) = v(x) = \exp(x)$.
Ainsi, $f'(x) = u'(x)\times v(x) + u(x) \times v'(x)$.
Donc $f'(x) = 1 \times \exp(x) + x \times \exp(x) = (x + 1) \exp(x)$.
On préfèrera écrire la dérivée sous la forme d’un produit, pour faciliter le calcul de son signe.
Propriété
Soient $a$ et $b$ deux réels,
Si $f(x) = \exp(ax + b)$ alors $f'(x) = a\exp(ax + b)$.
Exemple :
Soit $f$ une fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \exp(-x + 2)$.
On applique la propriété précédente avec $a = -1$ et $b = 2$.
Ainsi, $f'(x) = -1 \exp(-x + 2) = -\exp(-x + 2)$