Opérations et dérivées
Opérations et dérivées
Opérations et dérivées
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur $I$.
1) Dérivée d’une somme
La dérivée d’une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de chaque fonction : c’est à dire
$(u + v)’ = u’ + v’$.
Par exemple $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x}$.
Il faut dans un premier temps chercher le domaine de définition et l’ensemble de dérivabilité.
La fonction $u(x) = x^2$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et la fonction $v(x) = \dfrac{1}{x}$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^*$.
Ainsi, la fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^*$.
Pour $x \in \mathbb{R}^*, \ f'(x) = 2x + \dfrac{-1}{x^2}$.
2) Dérivée du produit d’une fonction par un réel $k$
La formule est la suivante : $(ku)’ = k \times u’$ avec $k \in \mathbb{R}$.
Exemple, on souhaite déterminer la dérivée de $f(x) = -2x^2$.
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ ainsi:
pour tout réel $x$, $f'(x) = -2 \times (2x) = -4x$.
3) Dérivée de l’inverse d’une fonction
La formule est $\left ( \dfrac{1}{v} \right )’ = \dfrac{-v’}{v^2} $ pour tout $x \in I$ et il faudra veiller à ce que $v(x) \neq 0$.
Exemple, considérons la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x+1}$.
$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R} \backslash \{-1\}$:
Pour tout réel $x$ différent de $-1,\ f'(x) = \dfrac{-1}{(x+1)^2}$.
4) Dérivée du produit de deux fonctions
La dérivée d’un produit est donnée par la formule suivante :
$(uv)’ = uv’ + u’v$.
Exemple : Soit $f(x) = (3x + 1)\times \sqrt{x}$,
la fonction $x \mapsto 3x + 1$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$
La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ et dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.
Ainsi, $f$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ et dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*, \ f'(x) = 3 \times \sqrt{x} + (3x + 1) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
5) Dérivée du quotient de deux fonctions
La dérivée d’un quotient est $\left ( \dfrac{u}{v} \right )’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}$. La fonction $v$ ne s’annulant pas.
Exemple : Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x – 4}$ définie et dérivable sur $\mathbb{R} \backslash \{4 \}$,
Pour tout $x$ différent de $4$,
$f'(x) = \dfrac{2(x – 4) – (2x + 1) \times 1}{(x – 4)^2}$.
$f'(x) = \dfrac{-9}{(x – 4)^2}$.