Dérivées de fonctions

Fonctions dérivées

$f$ est une fonction dérivable en tout point $x$ d’un intervalle $I$ inclus dans son domaine de définition.

La fonction qui à tout réel $x$ de $I$ associe $f'(x)$, le nombre dérivé de $f$ en $x$, est la fonction dérivée de $f$ sur $I$. On la note $f ‘$.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ dont les dérivées sont notées $u’$ et $v’$.

Soit $\lambda \in \mathbb{R}$.

On a alors les résultats suivants :

$\bullet$ Dérivée d’une somme :

$(u+v)’=u’+v’$.

$\bullet$ Dérivée multipliée par un nombre :

$(\lambda u)’ = \lambda u’$.

$\bullet$ Dérivée d’un produit :

$(u\cdot v)’ = u’\cdot v +u\cdot v’$.

$\bullet$ Dérivée d’un quotient :

${\bigg(\dfrac{u}{v}\bigg)}^{‘} = \dfrac{u’\cdot v -u\cdot v’}{v^2}$. (la fonction $v$ ne s’annulant pas sur $I$)

$\bullet$ Dérivée d’une composée :

$(v\circ u)’= u’ \cdot (v’\circ u)$.

Dérivons les fonctions suivantes :

$f(x) = \dfrac{4}{3}x^5 – \dfrac{5}{2}x^2 + 1 \text{ avec } D_f = \mathbb{R}$

$g(x) = 5 \sqrt{x} \text{ avec } D_g = \mathbb{R^+}$

$h(x) = \ln(x) + e^x \text{ avec } D_h = ]0 ; +\infty[$.

Dérivons les fonctions suivantes :

$f(x) = \dfrac{3x^2 – 1}{x + 3} \text{ avec } D_f = \mathbb{R}-\left\{-3\right\}$

$g(x) = e^x (x^2 + x + 1) \text{ avec } D_g = \mathbb{R}$