Loi fondamentale de la statique des fluides
Loi fondamentale de la statique des fluides
I. Rappel : la masse volumique
La masse volumique est notée $\rho,$ elle s’exprime en kilogramme par mètre cube : Kg/m3 qui s’écrit aussi Kg m-3. C’est la masse par unité de volume.
Par exemple : l’eau liquide à 20°C est d’environ 998kg/m3 ou en ordre de grandeur 103 kg/m3. C’est souvent cette deuxième valeur que l’on prend si on veut simplifier les applications numériques.
Liquides et solides
Les liquides et les solides sont en général incompressibles, c’est-à-dire que l’on a beau compresser un liquide, de l’eau par exemple, on a du mal à faire changer le volume. Ainsi $\rho$ est une constante, la masse volumique est une constante. 1 mètre cube d’eau reste toujours le même mètre cube, même si l’on augmente la pression, il y a toujours une masse de 998 kg.
Gaz
On peut compresser un gaz : on met un gaz dans une boîte, on découpe le haut de la boîte et on appuie dessus, le gaz à l’intérieur va se trouver compressé car dans le modèle microscopique du gaz, les particules sont très éloignées les unes des autres. On a donc une grande marge de manœuvre pour les rapprocher.
Cela engendre le fait qu’en prenant un mètre cube de gaz qui pèse par exemple $1$ gramme, on le compresse, ce $1$ gramme va prendre $\dfrac{1}{2}m^3$ à la place d’ $1m^3$. Ainsi, on a $\dfrac{1}{2}m^3$ à la place de $1m^3$ pour $1$ gramme, ce qui voudrait dire que $1m^3$ pèserait $2$ grammes. On vient de changer la masse volumique du gaz !
Dans le cas d’un gaz compressible, la masse volumique $\rho$ est une fonction de la pression et non pas une constante : $\rho = f (\rho).$
II. Loi fondamentale de la statique des fluides
La loi fondamentale de la statique des fluides n’est valable que pour les fluides incompressibles. Donc on oublie les gaz, sauf si dans un exercice on dit que le gaz est considéré comme incompressible.
Il faut associer un schéma et une formule pour définir cette loi.
Le schéma est un axe vers le haut avec deux points, $A$ et $B,$ alignés verticalement. Le point $A$ est à une altitude $z_A,$ le point $B$ est à une altitude $z_B.$ Dans toute la zone, il y a un fluide incompressible. La loi fondamentale de la statique des fluides permet d’écrire :
$P_A + \rho \times g \times z_A = P_B + \rho \times g \times z_B$
$g$ est l’intensité de pesanteur.
Si l’axe est vers le bas, il faut mettre un moins à la place du plus :
$P_A – \rho \times g \times z_A = P_B – \rho \times g \times z_B$
La pression $P$ est en pascal, la masse volumique en kg/m3, l’intensité de pesanteur est en N/kg (Newton), (à Paris, la valeur est de $9,81$), $z_A$ et $z_B$ en mètre.
Exemple
Trouver la pression dans l’eau à $10$ mètres de profondeur.
On utilise la version simplifiée de la valeur avec $\rho = 10^3 kg/m^3,$ pareil pour $g$ avec $g=10N/kg.$
On considère que l’eau est un fluide incompressible, on peut donc utiliser la loi fondamentale de la statique des fluides. On fait d’abord le schéma, ne jamais négliger cette étape où l’on schématise la situation donnée.
En $A,$ on a un plongeur qui, au lieu d’être à la surface de l’eau, est à $10$ mètres de profondeur, mais comme il est dans l’eau en profondeur, son altitude, si on a $0$ à la surface, est $-10.$ Puis, on rappelle la formule $P_A +\rho gz_A = P_B +\rho gz_B$
$z_A$ est $0,$ ainsi $\rho gz_A$ vaut $0.$
Que vaut $P_A$ ?
C’est la pression à la surface de l’eau. C’est donc entre l’air qui est au-dessus et l’eau qui est en-dessous. La pression est donc en continuité entre celle à la surface de l’air et celle à la surface de l’eau. Juste au-dessus du point $A$ et juste en-dessous du point $A,$ on a la même pression. À cet endroit, la pression est celle de l’air, ce que l’on appelle la pression atmosphérique.
Donc $P_A = P$ atmosphérique. On va l’approximer à $1$ bar, c’est-à-dire $10^5$ Pascal.
Puis on isole $P_B,$ donc $\rho gz_B$ passe de l’autre côté. Cela fait $P_B = P_A – \rho gz_B.$
Ainsi on a toutes les valeurs. On n’oublie pas que $z_B$ vaut $-10.$ En faisant le calcul, on trouve $2 \times 10^5$ Pa.
Il faut refaire le calcul pour vérifier que c’est bon. Cela fait à peu près $2$ bars.
Donc, en plongeant de $10$ mètres on a gagné $1$ bar. Si on replonge $10$ mètres plus bas, on regagne $1$ bar, etc. Tous les $10$ mètres, la pression augmente de $1$ bar sous l’eau. Cela veut dire que l’on sent la pression qui s’exerce sur notre corps. C’est pour cela que notre corps a ses limites, on ne peut pas plonger à des profondeurs extraordinaires, sans quoi la pression sur notre corps, nos os, nos organes serait trop importante, le corps ne pourrait pas résister.
Force pressante et loi de Boyle-Mariotte
I. Force pressante
La force pressante est une force en Newton liée à la pression. La pression qui est dans un fluide va induire une force pressante, si on met ce fluide en contact avec une surface, par exemple une paroi. Cette force est perpendiculaire à la surface et va du fluide vers la paroi. Deux exemples pour mettre en œuvre ces deux caractéristiques de la force pressante :
Premier exemple
On a un cylindre, et au milieu de celui-ci, il y a ce un piston mobile. Un piston mobile est lui-même un petit cylindre qui va pouvoir se déplacer dans l’axe du grand cylindre. Pourquoi serait-il amené à se déplacer ? Dans un premier temps si on le pousse, il doit pouvoir se déplacer dans un sens ou dans l’autre. Mais si on ne le pousse pas, et qu’on met un gaz à sa gauche et un gaz à sa droite avec le cylindre fermé à gauche et à droite ; le gaz à gauche a une pression $P0$ et celui de droite, a, lui aussi, une pression $P0.$
Quelle force va subir ce piston ?
Tout d’abord, il subit la force de gravitation qui nous intéresse peu, la réaction du support avec le grand piston, mais ce qui nous intéresse ce sont les forces pressantes liées au gaz. On sait qu’une pression effectue une force pressante sur une surface. Pour le gaz de gauche, quelle est la surface ? Pour la trouver, il faut se poser la question : quelle est la surface de contact entre le fluide et le piston ? Le piston est le cylindre jaune au milieu, le fluide est la partie de gauche, la surface de contact est donc le disque qui est derrière le cylindre jaune sur le schéma. Quelle est sa perpendiculaire ? C’est l’axe du cylindre. De plus, on sait que la force va du fluide vers la paroi. Donc, si on s’intéresse à la force du fluide à gauche, la force va du fluide vers la paroi. C’est ce qui est représenté par la force $F_1$ sur le schéma. Celle-ci est donc la force due au compartiment de gauche sur le cylindre. Quant au compartiment de droite, lui aussi va venir « appuyer » sur le cylindre. On voit la surface de contact sur le schéma, c’est le disque visible en jaune. Sa perpendiculaire est encore une fois, l’axe du grand cylindre. Et la force va aller du fluide vers la paroi, c’est donc la force $F2.$ Comme les gaz ont la même pression à gauche et à droite et la même surface, alors les forces sont exactement les mêmes, $F_1$ est égale à $F_2,$ donc elles se compensent.
Conclusion : le piston ne bouge pas. Mais si, par exemple, on prend une pompe à vélo et qu’on injecte du gaz, la pression va augmenter et le piston va se déplacer car $F_2$ sera plus grand que $F_1.$
Deuxième exemple
Cette fois-ci, on enferme un gaz à l’intérieur d’un ballon (de foot par exemple). On gonfle le ballon, donc on fait rentrer du gaz à l’intérieur du ballon, la pression augmente, donc la pression à l’intérieur du ballon va devenir, à un moment, plus grande que la pression à l’extérieur, c’est ce qu’on appelle la pression atmosphérique. On voit bien sur le schéma que $P_{int} > P_{ext}.$
On observe deux gaz, celui à l’intérieur du ballon et celui à l’extérieur. Chaque gaz est un fluide et chaque fluide va induire une force sur le ballon. Si on s’intéresse à ce qui se passe en termes de force, la force à l’intérieur va être perpendiculaire à la surface. Mais qu’est-ce que c’est qu’être perpendiculaire quand une surface est une sphère ? C’est la direction qui passe par le rayon de la sphère. Donc, la force intérieure va du fluide vers la paroi, elle est représentée en bleu sur le schéma ($F_{int}$). Le gaz qui est à l’extérieur va, lui aussi, créer une force sur le ballon mais vers l’intérieur, perpendiculaire à la paroi, donc la direction qui va vers le centre du ballon. Mais la force va être plus petite car la pression extérieure est moins grande que l’intérieure.
Formule liant pression et force
Dans le schéma, on a le gaz avec une pression $P,$ une surface valant $S$ et la force induite, perpendiculaire à la surface et allant du gaz vers la surface. Cette force est un vecteur, si on enlève le vecteur, $F$ représente la valeur de la force. On peut relier cette valeur de force et la pression par une force.
$F= P\times S$
Cette force est en Newton, la pression est en Pascal, et la surface en mètre carré.
II. Loi de Boyle-Mariotte
La Loi de Boyle-Mariotte est légèrement différente car elle ne concerne que les gaz idéaux. Un gaz idéal (ou gaz parfait) est un gaz où les particules sont toutes petites et ne sont pas en interaction les unes avec les autres. On prend donc ce gaz idéal de quantité constante, donc on ne perd pas de gaz (exemple avec un ballon de foot : il ne faut pas qu’il soit troué) et à température constante.
Pendant la transformation qui va avoir lieu, la température doit rester la même, sinon tout le raisonnement est faux. Si ces conditions sont respectées, alors la loi de Boyle-Mariotte dit que la pression fois le volume du gaz est égale à une constante.
$P \times V = cte$
Dans les exercices, on étudie des transformations, soit d’un état initial vers un état final. Chaque état est caractérisé par des grandeurs macroscopiques $P_0$ (pression), $T_0$ (température), $V_0$ (volume), $N_0$ (quantité). Et l’état final, c’est pareil : $P_1, T_1$ (mais dans les cas des gaz parfaits elle ne doit pas changer), $V_1, N_0$ (car la quantité de molécules doit être la même pour appliquer la loi de Boyle-Mariotte).
La loi de Boyle-Mariotte dit que la pression fois le volume est égale à une constante. Mais ici, on a un état initial et final. On les multiplie donc en fonction de leur état, $P_0\times V_0$ ou $P_1\times V_1.$ De plus, $P_0 \times V_0 = P_1 \times V_1$ d’après la loi de Boyle-Mariotte, car c’est égal à une constante.
Exemple
On a un cylindre fermé à droite et un piston. Ce piston, on peut le déplacer. Avant de le déplacer, on voit un gaz dans la partie de droite, qui exerce une pression $P_0$ avec un volume $V_0,$ c’est l’état initial.
Maintenant on vient pousser ce piston, donc compresser le gaz. Le volume $V_1$ est plus petit et ce gaz a donc une nouvelle pression $P_1,$ c’est l’état final. Peut-on calculer la valeur de la pression à l’état final ?
Oui, si on fait l’hypothèse que la température est constante au cours de cette transformation. Ainsi, on a le droit d’utiliser la loi de Boyle-Mariotte.
On peut donc écrire que $P_0\times V_0=P_1\times V_1$ d’où $P_1 = \dfrac{P_0\times V_0}{V_1}.$
C’est évident que $V_1$ est plus petit que $V_0$ puisqu’on a déplacé le piston, ainsi le rapport $\dfrac{V_0}{V_1}$ est plus grand que $1.$ On en déduit que $P_1$ est plus grand que $P_0.$ Cela est cohérent avec les sensations ressenties car en poussant le piston, en compressant le gaz, on s’attendait bien à ce que la pression $P_1$ soit plus grande que la pression $P_0.$ Cette formule le prouve et permet même d’en calculer la valeur en utilisant ces propriétés.
Description d'un fluide au repos
Description d’un fluide au repos
I. Description du fluide
Vision microscopique
Microscopiquement, un fluide peut être un liquide ou un gaz composé de particules (molécules ou atomes par exemple). Donc, quelle est la différence entre un liquide et un gaz ?
– Dans un liquide, les particules sont assez proches les unes des autres, quasiment en contact, car il y a des interactions fortes.
– Dans un gaz, les particules sont éloignées et il y a peu d’interactions entre les particules, voir aucune, dans le cas des gaz parfaits.
Dans tous les cas, que ce soit liquide ou gaz, il y a beaucoup de particules (molécules et atomes) dans un système considéré, même dans 1 ml d’eau. Si on veut décrire ce qui se passe en indiquant, par exemple, la vitesse et la position de chacune des particules, il y aura une quantité d’informations beaucoup trop importante pour décrire un fluide. Donc, la vision microscopique est intéressante mais extrêmement complexe, c’est pourquoi on passe à une vision macroscopique pour voir les choses de plus loin.
Vision macroscopique
On va tenter de caractériser ces quelques gouttes d’eau et de trouver des paramètres dans son ensemble. Ces paramètres sont par exemple son volume, sa température, sa pression et $N$ la quantité de particules à l’intérieur. C’est ce qu’on appelle des grandeurs macroscopiques, c’est-à-dire qu’elles décrivent un ensemble de particules et non pas une seule.
Pour le volume on utilise le mètre cube qui est l’unité internationale ; pour la température, le kelvin ; pour la pression, le pascal et le nombre de particules est sans unité.
II. La pression
Quand on gonfle un pneu d’air, on se rend compte que la pression augmente quand on injecte de l’air. On fait rentrer des molécules dans un espace confiné et on constate que ça « pousse ».
Sur le schéma, on voit une paroi à droite et des particules (molécules) agitées dans le fluide, quand elles arrivent sur la paroi, elles tapent puis repartent. Dans certains modèles, qu’on appelle modèles élastiques, on considère un peu comme au billard, que la particule va venir taper et repartir, notamment avec le même angle d’incidence. Mais en faisant ceci, elle a transféré une quantité de mouvement.
On voit qu’il y a une pression transférée sur la paroi. La pression est donc liée à la collision des particules de fluide sur la paroi. Plus il y en a, plus la pression est importante. On comprend donc que plus on injecte de particules, plus la pression est importante.
L’unité est le pascal (Pa).
Il faut s’habituer à faire des conversions, car dans un grand nombre d’exercices, les données ne seront pas données en Pascal :
1 hectopascal donne 100 pascal,
1 bar équivaut à 105 pascal (100 000 pascal),
1 atmosphère c’est 1 013,25 hectopascal (101 325 pascal). C’est en quelque sorte, la pression moyenne sur Terre.
III. La température
La température mesure l’agitation des molécules. Plus la température augmente, plus les molécules sont agitées, c’est-à-dire que leur vitesse augmente.
L’unité de la température dans le système international est le kelvin et non le degré Celsius. On sait que la température en Kelvin est la température en degrés Celsius $+ 273,15.$
$T(K) = T(°C) + 273,15$
Le degré Celsius a été introduit car il était utilisé pour des points précis comme 0°C qui correspond au point de solidification de l’eau, ou encore 100°C qui est la température d’ébullition à pression atmosphérique.
La température en Kelvin a-t-elle une signification, un point précis comme le degré ? Oui, car comme dit auparavant, l’agitation c’est ce qui mesure la température, et à 0 Kelvin il n’y a pas d’agitation. On peut le retrouver notamment dans les laboratoires de recherche : à l’heure actuelle, il y a des scientifiques qui essayent de diminuer le plus possible l’agitation des molécules pour essayer d’atteindre le 0 Kelvin. Le 0 Kelvin précisément, n’a toujours pas été atteint.