Égalités remarquables
Égalités remarquables
Égalités remarquables
Il existe trois égalités remarquables, aussi connues sous le nom d’identités remarquables, à connaitre par coeur.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$
$(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$
Ces expressions peuvent être utilisées dans les deux sens, c’est à dire que l’on peut trouver dans un exercice la forme de gauche et il s’agit d’écrire la forme de droite : cela correspond au développement. L’autre sens correspond à la factorisation.
Exemples :
a) Développer $(x – 7)^2$.
On applique la deuxième formule avec $a = x$ et $b = 7$.
$(x – 7)^2 = x^2 – 2\times x \times 7 + 7^2 $
$(x – 7)^2= x^2 -14x + 49$.
b) Factoriser $x^2 – 25$.
On reconnait ici la dernière identité remarquable, avec $a = x$ et $b = 5$.
En effet, $5^2 = 25$.
Ainsi,
$x^2 – 25 = (x – 5)(x + 5)$.
Égalité remarquable - Exemple n°2
Égalité remarquable - Exemple n°3
Égalité remarquable - Exemple n°1
Double distributivité
Double distributivité
La formule de la double distributivité est la suivante :
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Exemples :
a) Développer $(x + 2)(3x + 4)$.
On applique la formule avec $a = x, b = 2, c = 3x$ et $d = 4$.
Ainsi,
$(x + 2)(3x + 4) = x \times 3x + x \times 4 + 2 \times 3x + 2 \times 4 $
$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 4x + 6x + 8$
La dernière étape du calcul consiste à regarder si il est possible d’effectuer une réduction, en regroupant les termes semblables.
Finalement,
$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 10x + 8$.
b) Développer $(5x – 7)(6 – 2x)$.
L’astuce consiste à réécrire, lorsque l’on débute, le produit sous la forme
$(5x – 7)(6 – 2x) = (5x + (- 7))(6 + (- 2x))$.
Ainsi, on applique la formule avec $a = 5x, b = -7, c = 6$ et $d = -2x$.
On trouve alors que :
$(5x – 7)(6 – 2x) =(5x + (- 7))(6 + (- 2x))$
$(5x – 7)(6 – 2x) = 30x – 10x^2 + – 42 + 14x$
$(5x – 7)(6 – 2x) = -10x^2 + 44x – 42$
c) Développer $(1 + y)(2y – 3)$
$(1 + y)(2y – 3) = 2y – 3 + 2y^2 -3y $
$(1 + y)(2y – 3) = 2y^2 – y -3$.