Équations a+x=b et ax=b
Équations a+x=b et ax=b
Equations du type $a + x = b$ et $ax = b$
I) Equation du type $a + x = b$
Résoudre cette équation revient à trouver la valeur de $x$ pour que cette équation soit vraie.
On cherche donc le nombre, $x$, tel qu’en lui ajoutant $a$ on trouve $b$ : c’est la définition de la soustraction de $b$ et de $a$.
Ainsi, $x = b – a$.
Exemples :
1) J’ai trois bonbons. Combien dois-je en prendre en plus pour en avoir sept au total ?
Cela revient donc à trouver le nombre de bonbons $x$ à prendre en plus pour que $3 + x = 7$.
On cherche donc un nombre qui ajouté à $3$ donne $7$ : c’est la définition de la différence de $7$ et de $3$. Ainsi,
$x = 7 – 3 = 4$.
On doit donc prendre quatre bonbons supplémentaires.
2) On souhaite résoudre l’équation $24 + x = 15$.
Cette fois ci, on remarque qu’il ne faut pas rajouter un nombre à 24 pour atteindre 15 mais enlever un nombre à 24.
Ce nombre correspond à la différence de $15$ et de $24$.
Ainsi,
$x = 15 -24=-9$.
II) Equation de la forme $ax = b$, avec $a \neq 0$
On cherche le nombre, $x$ tel qu’en le multipliant par $a$ on trouve le nombre $b$, c’est la définition du quotient.
Ainsi, la solution est
$ x = \dfrac{b}{a}$.
On peut alors remarquer que $a$ est au dénominateur : il ne doit donc pas être nul.
Exemples :
1) Un rectangle d’aire $28$ cm$^2$ a pour longueur $7$ cm. Quelle est sa largeur ?
La formule de l’aire d’un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
Avant de faire le calcul, on vérifie les unités. L’aire est donnée en centimètres carré et la longueur en centimètres, la largeur que l’on va trouver sera donc en centimètres.
On résout donc $7\times x = 28$, avec $x$ la largeur que l’on souhaite trouver.
Cela revient à chercher dans $28$ combien de fois il y a $7$ : c’est la définition du quotient de $28$ par $7$. Ainsi,
$x = \dfrac{28}{7} = 4$.
2) Résoudre $12x = 36$.
La solution est le quotient de $36$ par $12$ c’est à dire
$x = \dfrac{36}{12} = 3$.
3) Résoudre $7x = -25$.
Même si $-25$ est négatif, $x$ est le quotient de $-25$ par $7$, c’est à dire
$x = \dfrac{-25}{7}$.
On ne peut pas écrire le résultat sous forme d’un nombre décimal, on exprime donc le résultat sous la forme de fraction irréductible.