Équation cartésienne d'un plan
Équation cartésienne d'un plan
Equation cartésienne d’un plan
Définition
Soient $a,b,c$ et $d$ quatre réels avec $a,b$ et $c$ tous nuls.
$\mathcal{P} :ax+by+cz+d=0$ est l’équation cartésienne d’un plan de l’espace.
Propriété
Tout plan $\mathcal{P}$ d’équation $ax+by+cz+d=0$ admet un vecteur normal non nul $\overrightarrow{n}(a;b;c)$.
La réciproque est vraie.
Exemples
1) Déterminer l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(4;0;-1)$ et normal à $\overrightarrow{n}(2;-1;3)$.
2) Soit $\mathcal{P}: 2x-4y+6z-9=0$.
Déterminer un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathcal{P}$ et un point $A$ du plan
Correction
- 1) Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{n}$.
On a: $\mathcal{P} : 2x-y+3z+d=0$.
- Etape 2 : On sait que $A \in \mathcal{P} $, on remplace $x, y$ et $z$ par les coordonnées du point $A$ appartenant au plan.
$2(4)-0+3(-1)+d=0$
- Etape 3 : On en déduit la valeur de $d$ et ainsi l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
$d=-5$
On conclut que: $\mathcal{P} :2x-y+3z-5=0$.
- 2) Etape 1 : On définit un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathcal{P}$ à partir des coefficients de $x,y$ et $z$ de l’équation cartésienne.
$\overrightarrow{n}(2;-4;6)$ ou encore $\overrightarrow{n’}(1;-2;3)$ sont deux vecteurs normaux.
- Etape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point $A$ appartienne au plan.
On pose : $x=1$ et $y=2$ , avec $A \in \mathcal{P} $, on remplace : $2-8+6z-9=0$. $z=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}$
On a alors : $A\left(1;2;\dfrac{5}{2}\right)$
Équation cartésienne d'un plan - Exercice 1
Déterminons l’équation cartésienne du plan \(P\) passant par \(A (4, 0, -1)\) et normal à \(\overrightarrow{n} (2, -1, 3)\).
- Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{n}\).
- Etape 2 : On remplace \(x, y \text{ et } z\) par les coordonnées du point \(A\) appartenant au plan.
- Etape 3 : On en déduit la valeur de \(d\) et ainsi l’équation cartésienne du plan \(P\).
Équation cartésienne d'un plan - Exercice 2
Soit \(P : 2X – 4y + 6z -9 = 0\).
Déterminons un vecteur \(\overrightarrow{n}\) normal à \(P\) et un point \(A\) du plan.
- Étape 1 : On définit un vecteur \(\overrightarrow{n}\) normal à \(P\) à partir des coefficients de \(x, y \text{ et } z\) de l’équation cartésienne.
- Étape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point \(A\) appartienne au plan.
Équation cartésienne d'un plan - Exercice 3A
Déterminons l’intersection des plans \(P : x – 2y + z – 1 = 0\) et \(Q : 2x – 3y – z + 4 = 0\).
- Étape 1 : On définit des vecteurs \(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{n’}\) normaux à \(P\) et \(Q\) à partir des coefficients \(x, y, z\) de chaque équation cartésienne.
- Étape 2 : On vérifie s’il y a proportionnalité entre les deux vecteurs.
Équation cartésienne d'un plan - Exercice 3B
Déterminons l’intersection des plans \(P : x – 2y + z – 1 = 0\) et \(Q : 2x – 3y – z + 4 = 0\).
- Étape 1 : On pose le système de 2 équations à 3 inconnues.
- Étape 2 : On additionne la ligne 1 et la ligne 2.
- Étape 3 : On décide d’utiliser \(y\) comme paramètre.
- Étape 4 : On exprime \(x\) puis \(z\) en fonction de ce paramètre.
- Étape 5 : On reconnaît les coordonnées du vecteur directeur de la droite recherchée à partir des coefficients associées au paramètre \(t\).