Équation quotient

Équation quotient

Équation quotient nul

Définition

Une équation quotient nul est une équation du type $\dfrac{A(x)}{B(x)}=0$ avec $B(x)\neq 0$

On cherche si elles existent, la ou les valeurs de $x$ qui vérifient cette équation.

On rappelle qu’un quotient est nul si et seulement si le numérateur est nul.

Exemple

Considérons l’équation quotient suivante : $\dfrac{2x + 1}{3x – 1} = 0$.

Ici, le dénominateur est inconnu dans la mesure où il fait intervenir la variable $x$ que l’on cherche à déterminer. 

La première étape consiste à trouver les valeurs interdites, c’est à dire les valeurs que la variable $x$ ne doit pas prendre car diviser par 0 est impossible.

Il faut donc veiller à ce que le dénominateur ne soit jamais nul.

Ainsi, pour trouver ces valeurs qui ne conviennent pas, on résout l’équation $3x – 1 = 0$ c’est à dire $x = \dfrac{1}{3}$. 

La résolution de l’équation commence alors en énonçant les valeurs de $x$ possibles.

Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R} \backslash  \left\{\dfrac{1}{3}\right \}$, on a $\dfrac{2x + 1}{3x – 1} = 0$.

Ce quotient est nul si et seulement si le numérateur est nul.

Ainsi, $2x + 1 = 0$ c’est à dire $x = -\dfrac{1}{2}$. Il faudra veiller à ce que la solution trouvée ne soit pas aussi une valeur interdite. 

Ainsi, $S = \left\{ -\dfrac{1}{2} \right \}$. 

Autre exemple

Considérons de même l’équation quotient suivante : $\dfrac{4x -3}{2x + 6} = 0$.

On cherche la valeur interdite : $2x + 6 = 0$ c’est à dire $x = -3$. 

Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R} \backslash \{-3 \}$, on a $\dfrac{4x -3}{2x + 6} = 0$.

Or un quotient est nul si et seulement is le numérateur est nul.

Ainsi $4x – 3 = 0$ c’est à dire $x = \dfrac{3}{4}$.

La solution n’étant pas une valeur interdite, $S = \left \{ \dfrac{3}{4} \right \}$