Équations différentielles y' = ay + b
Équations différentielles y' = ay + b
Equations différentielles $y’ = ay + b$
Propriété
Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls,
Les solutions de l’équation différentielle $y’ = ay + b$ sont de la forme :
$f(x) =Ce^{ax} – \dfrac{b}{a}$, avec $C$ une constante réelle.
La démonstration n’est pas à connaitre mais l’esprit de la preuve est intéressant.
Démonstration :
On commence par montrer que les fonctions de la forme $ f(x) = Ce^{ax} – \dfrac{b}{a}$ avec $C$ une constante réelle, sont solutions.
Tout d’abord, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Soit $x \in \mathbb{R}$,
$f'(x) = aCe^{ax}$.
En outre,
$af(x) + b = aCe^{ax} – b + b = aCe^{ax} = f'(x)$.
Donc $f$ est bien solution de l’équation différentielle.
Réciproquement, on souhaite montrer que les fonctions solutions de l’équation différentielles $y’ = ay + b$ sont de la forme $Ce^{ax} – \dfrac{b}{a}$, avec $C$ une constante réelle.
On commence tout d’abord par montrer que la fonction $g(x) = -\dfrac{b}{a}$ est solution de l’équation différentielle.
En effet,
$g'(x) = 0$ et $ag(x) + b = -b + b = 0$.
Donc $g'(x) = ag(x) + b$.
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$,
On veut montrer l’équivalence suivante :
$f$ est solution de l’équation $y’ = ay + b$ si et seulement si $f – g$ est solution de l’équation différentielle $y’ = ay$.
Supposons que $f$ est solution de l’équation $y’ = ay + b$,
alors,
$(f – g)’ = f’ – g’ = af + b – (ag + b) = af – ag = a(f – g)$
Donc $f – g$ est solution de l’équation différentielle $y’ = ay$.
Supposons maintenant que $f – g$ est solution de l’équation différentielle $y’ = ay$,
alors,
$(f – g)’ = a(f – g) \iff f’ – af = g’ – ag$.
Or on a montré précédemment que $g$ était solution de l’équation différentielle $y’ = ay + b$ donc $g’ – ag = b$.
Ainsi,
$f’ – af = g’ – ag = b$ ou encore $f’ = af + b$.
Donc $f$ est solution de l’équation différentielle $y’ = ay + b$.
Or, on connait les fonctions solutions de l’équation différentielle $y’ = ay$ : il s’agit des fonctions de la forme $Ce^{ax}$ avec $C$ une constante réelle.
Ainsi, soit $f$ une solution de l’équation différentielle $y’ =ay + b$, alors $f-g = Ce^{ax}$ ou encore :
$f(x) = Ce^{ax} + g(x)$.
Or $g(x) = -\dfrac{b}{a}$.
Finalement,
$f(x) = Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$, c’est ce que l’on voulait démontrer.
Exercice type
Soit l’équation différentielle $(E) : y’ + 5y = 2$
1) Déterminer la forme générale des solutions de $(E)$.
2) Déterminer la solution $f$ qui vérifie $f(0) = 1$
Correction
1) On se ramène à la forme du cours :
$y’ + 5y = 2 \iff y’ = -5y + 2$.
D’après la propriété du cours appliquée à $a = -5$ et $b = 2$, on trouve que les solutions sont de la forme
$Ce^{-5x} + \dfrac{2}{5}$, avec $C$ une constante réelle.
2) On souhaite déterminer une solution particulière vérifiant une condition.
Soit $f$ la solution de l’équation différentielle $y’ +5y = 2$ vérifiant $f(0) = 1$,
Alors $f(0) = 1 \iff Ce^{-5\times 0} + \dfrac{2}{5} = 1 \iff C = 1 – \dfrac{2}{5} \iff C = \dfrac{3}{5}$
En remplaçant $C$ par sa valeur dans la forme générale des solutions on trouve
$f(x) = \dfrac{3}{5}e^{-5x} + \dfrac{2}{5}$.