Équations diophantiennes
Équations diophantiennes
Equation Diophantienne
Définition
Une équation diophantienne est une équation algébrique de la forme $ax+by=c$ (E) avec $a$, $b$ et $c$ entiers ($a$ et $b$ non nuls).
On cherche des couples $(x;y)$ d’entiers solutions.
Existence de solutions
(E) admet des solutions $\iff$ $PGCD(a,b)$ divise $c$
Dans l’équation suivante : (E) $4x-2y=1$, on a :
$PGCD(4;2)=2$
Or, 2 ne divise pas 1 donc l’équation n’a pas de solutions.
Exemple
Résoudre $41x-27y=1$ (E) dans $\mathbb{Z}^2$.
étape 1 : On cherche le $PGCD$ des nombres du membre de gauche. On effectue l’algorithme d’Euclide.
$41=27 \times 1 + 14 $
$27= 14 \times 1 + 13$
$14= 13 \times 1 + 1$
Ainsi : $PGCD (41 ; 27)=1$.
41 et 27 sont premiers entre eux.
étape 2 : On vérifie que le $PGCD (41 ; 27)$ divise le membre de droite, soit 1.
L’équation (E) admet donc des solutions.
étape 3 : On cherche une solution particulière.
$41=27 \times 1 + 14 $
$27= 14 \times 1 + 13$
$14= 13 \times 1 + 1$
On multiplie les deux membres de la première égalité par 2 et on remonte l’algorithme d’Euclide:
$13=14-1$ dans la deuxième égalité
$41=27 \times 1 + 14 \times 2$
$27= 14 \times 1 + 14-1$ car $13=14-1$
On a:
$41 \times 2 =27 \times 2 + 14 \times 2 $
$27= 14 \times 1 + 14-1$
On a ainsi:
$41 \times 2 =27 \times 2 + 14 \times 2$
$27 +1= 14 \times 2 $ et :
$41 \times 2 =27 \times 2 + 27 +1$
$41 \times 2 =27 \times 3 +1$
On déduit:
$41 \times 2 -27 \times 3 =1$
On repère ici une solution particulière de l’équation : le couple $(2 ; 3)$.
étape 4 : On cherche à présent l’ensemble des solutions de l’équation.
On sait que $41x-27y=1$ et que $41 \times 2 -27 \times 3 =1$.
On en déduit que $41x-27y=41 \times 2 -27 \times 3 $ et que $41(x-2)=27(y-3)$.
On note que $41$ divise $27(y-3)$ et que $27$ divise $41(x-2)$.
Comme $41$ et $27$ sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss :
$41$ divise $(y-3)$ et $27$ divise $(x-2)$.
Il existe donc deux entiers $k$ et $k’$ tels que :
$y-3 = 41k$ et $x-2= 27k’$.
En effectuant un travail sur la réciproque de l’existence de ces solutions, on montre que $k=k’$.
Conclusion : L’ensemble des couples $(x;y)$ solutions de l’équation \textit{(E)} sont de la forme :
$S=\left(27k+2;41k+3\right)$ avec $k$ entier.