L'équation produit
L'équation produit
L’équation produit
Définition
Une équation produit est une équation de la forme $a \times b = 0$ : un produit égal à $0$.
Propriété
Or un produit est nul lorsque, au moins, un de ses facteurs est nul.
Ainsi soit $a = 0$ soit $b = 0$ soit $a = b = 0$.
Exemple : $(x + 1)(2x – 3) = 0$.
Il s’agit bien d’un produit, dont le premier facteur est $(x + 1)$ et le deuxième $(2x – 3)$.
Or un produit est nul lorsque, au moins, un de ses facteurs est nul.
Cela signifie que $x + 1 = 0$ ou $2x – 3 = 0$.
Il faut donc résoudre deux équations.
Ainsi $x = – 1$ ou $2x = 3$ (en ajoutant 3 des deux côtés de l’égalité).
Donc $x = -1$ ou $x = \dfrac{3}{2}$ (en divisant par 2 des deux côtés de l’égalité).
Les solutions de cette équation sont donc $-1$ et $\dfrac{3}{2}$.
Les équations du 1er degré
Les équations du 1er degré
Définition
Une équation est une égalité avec une inconnue $x$. Il ne faut pas voir $x$ comme un lettre de l’aphabet mais comme un nombre qu’on ne connait pas.
Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue pour que l’égalité soit vraie. Une équation du premier degré est une équation dans laquelle l’inconnue est à la puissance 1.
Propriété
Lorsque l’on effectue de opérations sur une équation, il faut penser à le faire des deux côtés de l’égalité.
Pour faire “passer” un nombre de l’autre côté d’un signe $=$, on change son opération : une addition devient une soustraction, une multiplication devient une division.
1) Equation de la forme $a + x = b$
On veut résoudre $2 + x = 7$. On aurait parfaitement pu écrire $2+?=7$. C’est exactement la même démarche.
On veut trouver la valeur de $x$, on soustrait donc $-2$ des deux côtés. On obtient alors
$2 + x – 2 = 7 – 2$ donc
$x = 5$.
On peut alors vérifier que $2 + 5 = 7$.
Pour résoudre $4 – x = 7$, on peut appliquer deux méthodes.
La première consiste à appliquer la précédente, à savoir enlever le 4 en soustrayant 4 de chaque côté :
$4 – x – 4 = 7 – 4$
donc $-x = 3$.
Puisque l’on souhaite obtenir la valeur de $x$ et non de $-x$, on multiplie de chaque côté par $-1$ :
$(-1) \times (-x) = 3 \times (-1)$.
Ainsi $x = -3$.
La deuxième méthode consiste à enlever le $-x$ pour obtenir $+x$ de l’autre côté de l’égalité :
$4 – x + x = 7 + x$,
donc $4 = 7 + x$.
On soustraie donc des deux côtés $-7$ :
$4 – 7 = 7 + x – 7$.
Donc $x = -3$.
On peut alors vérifier que $4 – (-3) = 7$.
2) Equation de la forme $ax = b$
L’équation à résoudre est $3x = 8$. Il faut donc diviser par 3 de chaque côté :
$\dfrac{3x}{3} = \dfrac{8}{3}$.
Donc $x = \dfrac{8}{3}$.
On souhaite résoudre $-2x = 4$.
On divise donc par $-2$ de chaque côté :
$\dfrac{-2x}{-2} = \dfrac{4}{-2}$.
Ainsi $x = -2$.
3) Equation de la forme $ax + b = c$
On cherche à résoudre $3x – 2 = 7$.
On commence ici par les opérations addition-soustraction : on additionne donc 2 des deux côtés :
$3x – 2 + 2 = 7 + 2$, donc
$3x = 9$
puis on divise par 3 des deux côtés :
$\dfrac{3x}{3} = \dfrac{9}{3}$.
Donc $x = 3$.
Enfin, on veut résoudre $-2x + 1 = 3$.
On obtient alors
$-2x = 3 – 1$ donc
$-2x = 2$.
Enfin, on divise par -2 des deux côtés et on trouve alors
$x = -1$.