Équations, inéquations

Équations, inéquations et fonctions exponentielles

Equations et inéquations

Propriétés

Pour tous réels $x$ et $y$, $\displaystyle e^x=e^y \iff x=y$.

Pour tout réel $x$ et pour tout réel $a$ strictement positif, $\displaystyle e^x=a \iff x=\ln a$.

Pour tous réels $x$ et $y$, $\displaystyle e^x \leqslant e^y \iff x \leqslant y$.

Pour tout réel $x$ et pour tout réel $a$ strictement positif, $\displaystyle e^x \leqslant a \iff
x \leqslant \ln a$.

Exemple

Résoudre :  $3e^x-1=0$.

étape 1 : Soit $a$ un réel strictement positif. Si $e^x=a$, alors $x=\ln a$.

$\displaystyle 3e^x = 1$

$\displaystyle e^x = \frac{1}{3}$

$\displaystyle e^x = e^{\ln \frac{1}{3}} \iff x= \ln \frac{1}{3}$

étape 2 : On utilise $\ln (\frac{a}{b})=\ln a-\ln b$.

$\displaystyle x= \ln \frac{1}{3}$

$\displaystyle x= \ln 1- \ln 3$

$\displaystyle x= – \ln 3$

étape 3 : On conclut en donnant l’ensemble des solutions $S=\{-\ln 3\}.$

Autre exemple 

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :  $\displaystyle 2e^{2x}-4e^x \leqslant 0$.

étape 1 : On factorise par $2e^x$ en utilisant $\displaystyle e^{2x }=(e^x)^2$.

$\displaystyle 2e^x (e^x-2)\leqslant 0$

$\displaystyle e^x-2 \leqslant 0 \text{ (car } 2e^x>0$)

$\displaystyle e^x \leqslant 2$

étape 2 : On vérifie la cohérence de l’inégalité avant de poursuivre.

étape 3 : On utilise $e^x \leqslant a \iff x \leqslant \ln a$, avec $a>0$.

$\displaystyle e^x \leqslant 2 \iff x \leqslant \ln 2$

étape 4 : On conclut  $S=]-\infty; \ln 2 ]$.

Troisième exemple

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :  $ \displaystyle e^{2x}+5e^x-6=0$   $(E)$

étape 1 : On souhaite factoriser mais on ne trouve pas de facteur commun.

étape 2 : On procède à un changement de variable, $X=e^x$

$(E)$ équivaut à : $X^2 +5 X-6 =0 $.

étape 3 : On résout cette équation du second degré.

On peut calculer le discriminant ou chercher des racines évidentes.

On a finalement : $(X-1)(X+6)=0$.

Soit : $X_1=1$ ou $X_2=-6$.

Alors : $e^x=1$ ou $e^x=-6$.

étape 4 : Une exponentielle ne peut pas être négative donc

$e^x=-6$ n’a pas de solution.

étape 5 : On ne résout que $e^x=1$. Pour cela, on utilise le fait que $1=e^0$.

$e^x=e^0 \iff x=0 $

étape 6 : On conclut  $S=\{0\}$.