Factorisation d’un polynôme du troisième degré
Factorisation d’un polynôme du troisième degré
Ce cours du chapitre « Second degré, polynômes » aborde la factorisation du polynôme de troisième degré. Dans un premier temps, il donne sa propriété, et un exemple pour montrer comment l’appliquer. Dans un second temps, il traite de deux cas particuliers : quand $d = 0$ et la racine évidente.
Factorisation d’un polynôme du troisième degré : ce que tu vas réviser
- Propriété d’un polynôme du troisième degré
- Exemple d’un polynôme du troisième degré
- Cas particulier : $d = 0$
- Cas particulier : chercher une racine évidente
Propriété d’un polynôme du troisième degré
Comment factoriser un polynôme de degré 3 ?
Soit $P$ un polynôme du troisième degré défini pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ avec $a, b, c, d$ des réels ($a \neq 0$).
Si $x_0$ est une racine du polynôme ($P(x_0) = 0$) alors $P$ se factorise sous la forme suivante : $P(x) = (x – x_0)\times Q(x)$ avec $Q$ un polynôme du second degré.
Exemple d’un polynôme du troisième degré
Soit $P$ un polynôme du troisième degré défini par $P(x) = x^3 + 2x^2 + x – 4$.
On cherche à écrire ce polynôme sous la forme $(x – x_0)\times Q(x)$ où $x_0$ est une racine évidente.
On remarque ici que la somme des coefficients vaut $0$ : ($1 + 2 + 1 – 4 = 0$), ainsi $1$ est une racine évidente.
On peut donc écrire $P$ sous la forme $P(x) = (x – 1) \times Q(x)$.
Comme $Q$ est un polynôme du second degré, il s’écrit sous la forme $a’x^2 + b’x + c’$, avec $a’, b’, c’$ trois réels ($a’ \neq 0 $) qu’il s’agit de déterminer.
Pour déterminer la valeur des coefficients, la méthode consiste tout d’abord à développer le polynôme factorisé.
$P(x) = (x – 1) (a’x^2 + b’x + c’)$
$P(x) = a’x^3 + b’x^2 + c’x – a’x^2 -b’x -c’$
On regroupe ensuite les coefficients semblables.
$P(x) = a’x^3 + (b’ – a’)x^2 + (c’ – b’)x – c’$
Or deux polynômes de même degré sont égaux si les coefficients sont égaux.
On peut donc écrire le système d’égalité suivant par égalité des coefficients entre le polynôme $P$ initial et la nouvelle égalité précédente :
$\left \{ \begin{array}{rcl} 1 &=& a’ \\ 2 &=& b’ – a’ \\ 1 &=& c’ – b’ \\ -4 &=& -c’ \\ \end{array} \right.$
On trouve alors que $\left \{ \begin{array}{l} a’ = 1 \\ b’ = 3 \\ c’ = 4 \\ \end{array} \right.$
Finalement on peut écrire $P$ sous la forme $P(x) = (x – 1)(x^2 + 3x + 4)$.
En développant ce polynôme, on retrouve l’écriture initiale de ce dernier.
Cas particulier : $d = 0$
Lorsque $d = 0$, le polynôme peut se factoriser par $x$ et on obtient donc directement la factorisation.
Exemple
$P(x) = x^3 -3x^2 + 5x = x(x^2 – 3x + 5)$
Cas particulier : chercher une racine évidente
Comment trouver la racine évidente ?
Lorsque l’énoncé demande de chercher une racine évidente, il s’agit d’utiliser sa calculatrice pour calculer le polynôme en certaines valeurs ($-3\ ; -2\ ; -1\ ; 0\ ; 1\ ; 2\ ; 3$).
Exemple
$P(x) = 2x^3 + 2x^2 -28x – 48$
On trouve à l’aide de la calculatrice que $-2$ est une racine, c’est-à-dire $P(-2) = 0$.
Ainsi, $P$ s’écrit sous la forme $P(x) = (x – (-2))Q(x) = (x + 2) Q(x)$.
On prendra ainsi garde au fait que la factorisation s’écrit $(x – x_0)$ et on utilisera ainsi des parenthèses pour ne pas se tromper.
Pour aller plus loin dans « Second degré, polynômes »
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