Factorisation de $x^n-1$ par $x-1$

Factorisation de $x^n - 1$ par $(x - 1)$

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$,

on définit pour tout $x \in \mathbb{R}$ le polynôme $P(x) = x^n – 1$.

Ce polynôme admet pour racine évidente $1$.

Ainsi, on peut factoriser ce polynôme et l’écrire sous la forme $P(x) = (x – 1) \times Q(x)$, avec $Q$ un polynôme de degré $n – 1$.

On regarde pour les premières valeurs de $n$ la forme du polynôme $Q$.

Si $n = 2$, alors $P(x) = x^2 – 1$.

On reconnait ici une identité remarquable.

Ainsi, $P(x) = (x – 1)(x + 1)$, et $Q(x) = x + 1$.

On remarque que les coefficients de $Q$ sont tous égaux à $1$.

Si $n =3$, alors $P(x) = x^3 – 1$.

Ainsi, $P$ se factorise sous la forme $P(x) = (x – 1)(ax^2 + bx + c)$.

Pour trouver la valeur des coefficients $a, b, c$, on développe le polynôme puis on conclut sur leurs valeurs par l’égalité des coefficients.

$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx -ax^2 -bx – c = ax^3 + (b – a)x^2 + (c – b)x -c$

Ainsi, comme deux polynômes sont égaux si ils ont les mêmes coefficients, on a ainsi :

$a = 1$, $b – a = 0$, $c – b = 0$ et $-c= -1$.

Après résolution on trouve que $P(x) = (x – 1)(x^2 + x + 1)$.

Les coefficients du polynôme $Q$ sont tous égaux à $1$.

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$,

$x^n – 1 = (x – 1)(x^{n-1} + x^{n – 2} + … + x+ 1)$.

On note que tous les coefficients du second polynôme sont égaux à $1$.

Preuve :

En effet, développons $(x – 1)(x^{n-1} + x^{n – 2} + … + x + 1)$.

On a :

$(x – 1)(x^{n-1} + x^{n – 2} + … + x + 1)= x^n + x^{n-1} + x^{n-2} + … + x^2 + x – (x^{n-1} + x^{n – 2} + … + x + 1)$.

On remarque alors que tous les termes de la somme s’annulent deux à deux sauf $x^n$ et $-1$, ainsi on a bien :

$x^n – 1 = (x – 1)(x^{n-1} + x^{n – 2} + … + x + 1)$.

Exemple

Si $n = 4$, $P(x) = x^4 – 1$.

D’après la propriété précédente, on a $P(x) = (x – 1)(x^3 + x^2 + x + 1)$.