Fonctions du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts

Polynômes s'annulant en 2 nombres réels distincts

Polynôme s’annulant en deux nombres réels distincts

Factorisation d’un polynôme de discriminant positif

Soit $P$ un polynôme du second degré défini sur $\mathbb{R}$ par $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a, \, b, \, c$ trois réels ($a \neq 0$). 

On suppose que le discriminant est strictement positif, ($\Delta > 0)$. 

Le polynôme admet donc deux racines $x_1$ et $x_2$ telles que $P(x_1) = 0$ et $P(x_2) = 0$.

Le polynôme $P$ se factorise donc sous la forme $P(x) = a (x – x_1) (x – x_2)$. 

Exemple 1 : deux racines évidentes

On suppose que $P(x) = 3x^2 + 3x – 18$. 

Il n’est pas toujours nécessaire de calculer le discriminant.

On peut tester avec la calculatrice certaines valeurs évidentes de $x$ comme $-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;…$.

On trouve que $P(-3) = 0$ et $P(2) = 0$. 

Ainsi $P(x) = 3 (x – 2) (x – (-3)) = 3(x – 2)(x + 3)$. 

Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses. 
Comme $a = 3 > 0$, la parabole est dirigée “vers le haut”. 

Exemple 2 : une seule racine évidente

Soit $x \in \mathbb{R}$, on pose $Q(x) = -x^2 – 5x + 6$. 

Comme la somme des coefficients vaut $0$ ($-1 – 5 + 6 = 0$), une racine évidente est $1$. 

Pour trouver la seconde, on peut utiliser le fait que $x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{-1} = -6$ donc $x_2 = -6$.

Ou encore, on sait que $Q(x) = (x – 1)(a’x + b’)$ et en développant on trouve la valeur des coefficients $a’$ et $b’$ en les identifiant avec la forme initiale de $Q$. 

Ainsi, $Q(x) = -(x – 1)(x + 6)$. 

Comme $a = -1 < 0$, la courbe est dirigée “vers le bas”. 

Exemple 3 : pas de racine évidente

On suppose enfin que $R(x) = -3x^2 – \dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{6}$. On ne trouve pas de racine évidente dans ce cas.

En effectuant la méthode du discriminant, on trouve que $\Delta = \dfrac{9}{4} > 0$ et ainsi,

$x_1 = \dfrac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1}{3}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1}{6}$.

Ainsi $R(x) = -3 \left (x + \dfrac{1}{3} \right) \left (x – \dfrac{1}{6} \right) $