Image d'un nombre par une fonction
Image d'un nombre par une fonction
Image d’un nombre par une fonction
Notion intuitive d’image
Considérons la courbe de température suivante :
L‘ensemble de définition de la fonction est $[0, 24]$, c’est à dire que l’étude se fait sur une journée complète à partir de minuit.
L’ordonnée est la température, il s’agit donc de la représentation graphique de la température en fonction du temps.
Ainsi, le temps est sur l’axe des abscisses.
Question : quelle température faisait-il à 3h du matin ?
On lit graphiquement que la température à 3h du matin est 9°C.
Ainsi, on dira que l’image de 3 par la fonction $f$ vaut 9 : il n’y a plus d’unité. On notera aussi $f(3) = 9$.
Définition
Soit $f$ une fonction et $a$ et $b$ deux réels vérifiants $f(a)=b$.
On dit que $b$ est l’image de $a$ par $f$.
Ou encore : l’image de $a$ par $f$ vaut $b$.
Autre exemple :
Pour trouver l’image de 15, on se place sur l’axe des abscisses à $t = 15$ puis on trace la droite perpendiculaire à cet axe et on regarde l’ordonnée du point d’intersection entre cette droite et la courbe de $f$ :
On lit $f(15) = 15$.
Antécédent d'un nombre par une fonction
Antécédent d’un nombre par une fonction
Définition
Soit $f$ une fonction et deux réels $a$ et $b$ vérifiant $f(a)=b$
On dit que $b$ est l’image de $a$ par $f$. (c’est une valeur unique)
On dit que $a$ est un antécédent par $f$ de $b$. (il peut y en avoir plusieurs)
Exemples
Cherchons le ou les antécédents, s’ils existent de $14$
Cela revient à chercher l’heure à laquelle la température était de 14°C.
Pour ce faire, on se place sur l’axe des ordonnées (l’axe des températures ici) et on trace la droite perpendiculaire à cet axe puis on regarde les points d’intersection entre la droite et la courbe de température et finalement, on lit leur abscisse.
Ici, il y a deux points d’intersections pour lesquels la température est de 14°C et donc deux heures différentes : 12h et 18h.
Il se peut que dans certains cas il n’y ait aucune solution.
Mathématiquement, le fait qu’il ait fait 14°C à 12h et 18h se traduit par :
Les antécédents de 14 par la fonction $f$ sont 12 et 18.
Ou encore : les solutions de l’équation $f(t) = 14$ sont $S = \{12; 18\}$.
Considérons l’équation $f(t) = 10$ : on cherche donc les antécédents de 10 par $f$.
Les solutions sont donc $S = \{0; 6; 24\}$.
Considérons l’équation $f(t) = 16$ : on cherche donc les antécédents de 16 par $f$.
La température de 16°C n’étant jamais atteinte, cette équation n’admet pas de solution :
$S = \varnothing$.