Formules d’Euler

Formules d'Euler

Formules d’Euler 

Propriétés :

Soit $\theta \in \mathbb{R}$,

• $\cos(\theta) = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
• $\sin(\theta) = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

Démonstration :

On admet la propriété suivante :

Soit $\theta \in \mathbb{R}$, $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$.

On peut alors écrire que

$e^{-i\theta} = \overline{e^{i\theta}} = \cos(\theta) – i \sin(\theta)$.

Ainsi, en additionnant les deux égalités on obtient :

$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos(\theta)$.

De même, en soustrayant la deuxième à la première on aboutit à :

$e^{i\theta} – e^{-i\theta} = 2i \sin(\theta)$.

On remarquera la présence du $i$ dans la formule du sinus au dénominateur.

Application

On se propose de résoudre un exercice d’application, difficile, faisant appel à une technique que l’on pourra réinvestir dans de futurs exercices.

Soit $n \in \mathbb{N}$,

Calculons $\mathcal{S}_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(k\theta) = 1 + \cos(\theta) + \cos(2\theta) + …  + \cos(n\theta)$.

L’idée, qui devrait être donnée, consiste à utiliser une nouvelle somme $\mathcal{T}_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ et à l’ajouter à la somme initiale pour forme la somme :

$\mathcal{S}_n + i \mathcal{T}_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(k\theta) + i \sin(k\theta) = \displaystyle \sum_{k=0}^n e^{ik\theta} = \displaystyle \sum_{k=0}^n {\left (e^{i\theta} \right)}^k$, qui est la somme d’une suite géométrique de raison $e^{i\theta}$. 

Pour appliquer la formule qui donne le résultat d’une série géométrique, il faut vérifier que la raison est différente de 1. 

Ainsi, on cherche $\theta$ tel que $e^{i\theta} = 1$ ce qui revient à écrire que

$\theta = 0 + 2K\pi$ avec $K \in \mathbb{Z}$.

Dans ce cas, on a alors

$\mathcal{S}_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(k\times2K\pi) = \displaystyle \sum_{k=0}^n 1 = n + 1$.

Supposons à présent $\theta \neq 0 + 2K\pi$,

$\mathcal{S}_n + i \mathcal{T}_n  = \dfrac{1-e^{i\theta(n + 1)}}{1-e^{i\theta}}$.

On retrouve ici le fait que $e^{i\theta} \neq 1$.

Il s’agit alors de remarquer que

$\mathcal{S}_n = \mathcal{Re} \left (\displaystyle \sum_{k=0}^n {\left (e^{i\theta} \right)}^k \right )$.

Pour calculer la partie réelle de cette somme, on utilise la technique de l’argument moitié, qu’il faut retenir, qui consiste à mettre en facteur une exponentielle d’argument moitié.

Ainsi, 

$\displaystyle \sum_{k=0}^n {\left (e^{i\theta} \right)}^k  = \dfrac{e^{i\theta(n + 1)}-1}{e^{i\theta}-1} = \dfrac{e^{i(n + 1)\frac{\theta}{2}}}{e^{i\frac{\theta}{2}}} \times \dfrac{e^{i(n + 1)\frac{\theta}{2}}-e^{-i(n + 1)\frac{\theta}{2}}}{e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}}$.

En effet, on pourra remarquer que :

$e^{i\frac{\theta}{2}}\times e^{-i\frac{\theta}{2}} = e^{i\frac{\theta}{2}-i\frac{\theta}{2}}=e^0=1$. 

On remarque alors que l’on peut appliquer les formules d’Euler.

En effet $e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}} =  2i \sin \left ( \dfrac{\theta}{2} \right )$.

De même, $e^{i(n+1)\frac{\theta}{2}}-e^{-i(n+1)\frac{\theta}{2}} =  2i \sin \left ((n+1) \dfrac{\theta}{2} \right )$.

Ainsi,

$\displaystyle \sum_{k=0}^n {\left (e^{i\theta} \right)}^k  = \dfrac{e^{i(n + 1)\frac{\theta}{2}}}{e^{i\frac{\theta}{2}}} \times \dfrac{2i \sin \left ((n+1) \dfrac{\theta}{2} \right )}{2i \sin \left ( \dfrac{\theta}{2} \right )} = e^{in\frac{\theta}{2}}\times \dfrac{\sin \left ((n+1) \dfrac{\theta}{2} \right )}{\sin \left ( \dfrac{\theta}{2} \right )} $.

Finalement, on doit encore effectuer le calcul suivant :

$\mathcal{S}_n = \mathcal{Re} \left (e^{in\frac{\theta}{2}}\times \dfrac{\sin \left ((n+1) \dfrac{\theta}{2} \right )}{\sin \left ( \dfrac{\theta}{2} \right )} \right)$.

Or, le facteur $\dfrac{\sin \left ((n+1) \dfrac{\theta}{2} \right )}{\sin \left ( \dfrac{\theta}{2} \right )}$ est un nombre réel.

On doit donc calculer la partie réelle de $e^{in\frac{\theta}{2}}$.

Or $e^{in\frac{\theta}{2}} = \cos \left (n\dfrac{\theta}{2} \right ) + i\sin \left (n\dfrac{\theta}{2} \right ) $.

On peut donner sa partie réelle :

$\mathcal{Re} \left (e^{in\frac{\theta}{2}} \right ) = \cos \left (n\dfrac{\theta}{2} \right ) $.

Finalement,

$\mathcal{S}_n = \dfrac{ \cos \left (n\dfrac{\theta}{2} \right )  \sin \left ((n+1) \dfrac{\theta}{2} \right )}{\sin \left ( \dfrac{\theta}{2} \right )}$

On peut démontrer que la limite de $\dfrac{ \cos \left (n\dfrac{\theta}{2} \right )  \sin \left ((n+1) \dfrac{\theta}{2} \right )}{\sin \left ( \dfrac{\theta}{2} \right )}$ quand $\theta$ tend vers 0 vaut $n + 1$.

On peut le comprendre en remarquant que $\mathcal{S}_n$ est une fonction continue de $\theta$.

Ainsi, il n’est pas surprenant que sa valeur calculée en $0$ vaille sa limite en 0.