Fractions égales

Fractions égales

Fractions égales 

I) Rappels 

Lorsque l’on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre, on obtient une fraction égale à la fraction initiale. 

Exemple :

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2\times 5}{3\times 5} = \dfrac{10}{15}$. 

Ce résultat permet de simplifier des fractions, c’est à dire écrire une fraction sous sa forme la plus simple avec les nombres les plus petits possibles. 

Simplifier une fraction :

Simplifier $\dfrac{30}{45}$.

On cherche à simplifier cette fraction, c’est à dire diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

On peut aussi remarquer que $30$ et $45$ sont des multiples de $5$, donc :

$\dfrac{30}{45} = \dfrac{5 \times 6}{5 \times 9}$

Or $6$ et $3$ sont multiples de $3$, donc

$\dfrac{30}{45} = \dfrac{5 \times 3 \times 2}{5 \times 3 \times 3}$.

On peut donc simplifier par $5$ et par $3$, c’est à dire réécrire la fraction sans $5$ et $3$. 

Ainsi, $\dfrac{30}{45}= \dfrac{2}{3}$

Cependant, si il ne reste plus de facteurs au numérateur, il faudra se souvenir que pour tout nombre $a$ on a la propriété suivante $a = a \times 1$, et de ce fait, il reste en réalité un $1$. 

II) “Produit en croix” 

On cherche à déterminer si deux fractions sont égales. 
Spontanément, on aurait tendance à vouloir simplifier les deux fractions puis comparer, mais cela peut être fastidieux.

Une méthode facile pour résoudre ce problème consiste à comparer le produit du numérateur de la première par le dénominateur de la seconde avec le produit du numérateur de la seconde par le dénominateur de la première.

Si ces deux produits sont égaux, alors les fractions sont égales, sinon elles ne le sont pas. 

Règle :

Soient $a, b, c$ et $d$ quatre nombres tels que $b \neq 0$ et $d \neq 0$,

si $a \times d = c \times b$ alors $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

si $a \times d \neq c \times b$ alors $\dfrac{a}{b} \neq \dfrac{c}{d}$. 

Exemples :

Déterminer si les deux fractions $\dfrac{56}{63}$ et $\dfrac{72}{81}$ sont égales.

On calcule donc séparément les deux produits :

$56 \times 81 = 4536$ et $63 \times 72= 4536$. 

Puisque les deux produits sont égaux, les deux fractions sont égales. 

Déterminer si les deux fractions $\dfrac{64}{25}$ et $\dfrac{103}{40}$ sont égales.

On calcule donc séparément les deux produits : $64 \times 40 = 2560$ et $25 \times 103 = 2575$.

Puisque les deux produits ne sont pas égaux, les deux fractions ne sont donc pas égales.

Ce résultat est utile en proportionnalité. 

Par exemple, on souhaite trouver $x$ tel que $\dfrac{17}{5} = \dfrac{x}{15}$.

Comme les fractions sont égales, on a $17 \times 15 = 5 \times x$.

Pour trouver $x$ on effectuera le calcul :

$x = \dfrac{17\times 15}{5} = 51$.