Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de Bienaymé Tchebychev 

Propriété :

Cette inégalité fut découverte par Bienaymé en 1856 puis popularisée par Tchebychev, grâce à l’utilisation de la loi des grands nombres.

Soit $X$ une variable aléatoire admettant comme espérance $\mu$ et comme variance $V$,

Pour tout $\epsilon > 0$, on a :

$P(|X – \mu|) \geq \epsilon ) \leq \dfrac{V}{\epsilon^2}$

Interprétation

Cette inégalité permet de donner des minorations ou des majorations. On peut remarquer aussi que cette inégalité n’a du sens que lorsque $\epsilon > \sigma$ car sinon, cela revient à majorer $P(|X – \mu|) \geq \epsilon )$ par un nombre plus grand que 1 ce qui n’est pas utile car une probabilité est toujours inférieure à 1.

Exemple 1:

Le nombre de pièces sortant d’une usine en une journée est une variable aléatoire $X$ d’espérance $50$ et d’écart type $5$. Quelle est la probabilité que la production de demain dépasse $75$ pièces ?

On essaie d’estimer $P(X \geq 75)$ en se ramenant au cas de l’inégalité de Bienaymé Tchebychev.

$P(X \geq 75) = P(X – 50 \geq 75 – 50) $

$P(X \geq 75) = P(X – 50 \geq 25)$

Or $P(X – 50 \geq 25) \leq P(|X – 50| \geq 25)$.

En appliquant l’inégalité de Bienaymé Tchebychev, on a :

$P(|X – 50| \geq 25) \leq \dfrac{V(X)}{25^2} = \dfrac{5^2}{25^2}$

(car $V(X) = \sigma(X)^2$)

Finalement, $P(X \geq 75) \leq \dfrac{5^2}{25^2} = 0,04$

De même, on se demande la probabilité que la production soit inférieure  à 40 pièces.

$P(X < 40) = P(X – 50 < 40 – 50) $

$P(X < 40) = P(X – 50 < -10)$

Or $P(X – 50 < -10) \leq P(|X – 50| \geq 10)$.

En appliquant l’inégalité de Bienaymé Tchebychev, on a :

$P(|X – 50| \geq 10) \leq \dfrac{V(X)}{10^2} = \dfrac{5^2}{10^2}$

Finalement, $P(X < 40) \leq \dfrac{5^2}{10^2} = 0,25$

La probabilité que la production soit inférieure le lendemain à 40 pièces est donc inférieure à $0,25$.

Exemple 2:

On souhaite estimer $P(X \in ]\mu – 2\sigma; \mu +2 \sigma[)$ avec $\sigma$ l’écart type de $X$.

$P\left(X \in ]\mu – 2\sigma; \mu +2 \sigma[\right) = P\left(|X -\mu| < 2\sigma \right)$.

On ne peut ici appliquer directement l’inégalité de Bienaymé Tchebychev mais on s’y ramène en remarquant que cette dernière donne une majoration de l’événement contraire.

En effet,

$P\left(|X -\mu| < 2\sigma \right) = 1 – P\left(|X -\mu| \geq 2\sigma \right)$

D’après Bienaymé Tchebychev on a :

$1 – P\left(|X -\mu| \geq 2\sigma \right) \geq 1 – \dfrac{V}{(2\sigma)^2} = 1 – \dfrac{1}{4}$

$1 – P\left(|X -\mu| \geq 2\sigma \right) \geq \dfrac{3}{4}$.

On constate ici une des limites de cette inégalité, qui est générale et s’applique à toute variable aléatoire.

Si $X$ suit une loi normale ou binomiale, on sait que $P\left(|X -\mu| < 2\sigma \right) \geq 0,95$, ce qui est plus précis que ce que donne Bienaymé Tchebychev.

De même, on peut montrer que $P\left(X \in ]\mu – 2\sigma; \mu +2 \sigma[\right) \geq \dfrac{8}{9}$

Exemple 3:

Un livre de 100 pages contient 1000 erreurs. On ouvre le livre et on compte le nombre d’erreurs $X$ dans une page. On souhaite estimer la probabilité qu’il y ait plus de 20 erreurs dans une page.

$X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B} \left ( 1000; \dfrac{1}{100} \right)$.

En outre, on sait que

$E(X) = \mu = np = 10$ et

$V(x) = np(1-p)=9,9$.

On cherche à estimer

$P(X \geq 20) \leq P(|X-10|\geq 10) \leq \dfrac{V(X)}{10^2} = 0,099$