Intégration par parties

Intégration par parties

Intégration par parties

L’intégration par parties permet de calculer une intégrale dont on ne connait pas de primitive.

Théorème :

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a; b]$,

$\displaystyle \int_a^b u’v \, \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b – \displaystyle \int_a^b uv’ \, \text{d}t$

Démonstration :

La démonstration utilise la formule de dérivation d’un produit de fonctions.

En effet, on sait que $(u\times v)’ = u’v + uv’$.

Ainsi, $u’v = (u\times v)’ – uv’$.

On intègre alors l’égalité entre $a$ et $b$ :

$\displaystyle \int_a^b u’v \, \text{d}t = \displaystyle \int_a^b \big( (uv)’- uv’ \big)\, \text{d}t$.

Par linéarité de l’intégrale, on peut écrire que $ \displaystyle \int_a^b \big( (uv)’- uv’ \big)\, \text{d}t = \displaystyle \int_a^b (uv)’ \, \text{d}t – \displaystyle \int_a^b  uv’\, \text{d}t$.

Or, la primitive d’une fonction $f’$ est la fonction $f$, ainsi $\displaystyle \int_a^b (uv)’ \, \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b$.

Finalement, $\displaystyle \int_a^b u’v \, \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b – \displaystyle \int_a^b uv’ \, \text{d}t$.

Exemple :

Calculer $\displaystyle \int_0^1 te^t \, \text{d}t$.

L’étape la plus difficile de l’intégration par parties consiste à choisir correctement le couple $u$, $v$.

Ici, on remarque que la primitive de la fonction exponentielle vaut la fonction exponentielle elle même.

Ainsi, primitive la fonction exponentielle ne complexifie pas l’expression.

Cela n’est pas le cas pour la primitive de $t$ qui est $\dfrac{t^2}{2}$.

On pose alors $u’ =e^t$ et $v= t$. On a alors $u = e^t$ et $v’ = 1$.

$u$ et $v$ sont dérivables sur $[0; 1]$.

$\begin{align} \displaystyle \int_0^1 te^t \, \text{d}t &=& \big [te^t \big]_0^1 – \displaystyle \int_0^1 1\times e^t \, \text{d}t \\ &=& (1\times e^1-0\times e^0) – \big [e^t \big]_0^1  \\ &=& e – (e – e^0) \\&=& 1\end{align}$.
Finalement $\displaystyle \int_0^1 te^t \, \text{d}t = 1$