La loi binomiale
La loi binomiale
Loi binomiale
Quelles sont les conditions de la loi binomiale ?
On considère une expérience aléatoire qui ne comporte que deux résultats :
- le succès $S$ ;
- l’échec $\overline{S}$, son événement contraire.
On pose :
$p=p(S)$
et $q=p(\overline{S}) =1-p(S)$
On répète $n$ fois l’expérience, les répétitions sont indépendantes.
Soit $X$ le nombre de succès au cours des $n$ répétitions.
On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
On note cette loi $\mathcal{B}(n,p)$.
Exemple d’arbre pour $n=2$
La probabilité d’obtenir $k$ succès au cours des $n$ répétitions est donnée par la formule :
$p(X=k)= \displaystyle\binom{n}{k} p^k \times (1-p)^{n-k}$
Exemple
a) On lance 10 fois un dé bien équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers
b) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers ?
a) D’après la calculatrice, on a :
$p(X=4)\approx 0{,}054$
b) Pour s’éviter de longs calculs, on va utiliser l’événement contraire :
$p(X\geqslant1)=1-p(\overline{X\geqslant1})$.
On peut voir ici que :
$p(\overline{X\geqslant1})=p(X=0)$.
En effet, le contraire d’obtenir au moins une fois le chiffre 1 est de ne pas l’obtenir du tout.
On applique la formule du cours pour calculer $p(X=0)$ car $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10, \dfrac{1}{6}\right)$.
On termine le calcul pour trouver $p(X\geqslant1)$.
$p(X\geqslant1) \approx 0{,}838$
Quelle est l’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ?
Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors :
$E(X)=n \times p$.
Exemple
Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10, \dfrac{1}{6}\right)$, alors son espérance vaut :
$E(X)=10 \times \dfrac{1}{6}$
$E(X)=\dfrac{5}{3}$
La loi binomiale - Exercice 1
On lance 10 fois un dé bien équilibré.
Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers ?
- Étape 1 : On remarque que l’expérience “Lancer le dé” possède deux issues : le succès “obtenir le chiffre 1” et l’échec “ne pas obtenir 1”.
- Étape 2 : La probabilité du succès est égale à \(p(S) = p = \frac{1}{6}\).
- Étape 3 : Il faut bien préciser que l’on répète 10 fois cette expérience de manière indépendante.
- Étape 4 : On définit \(X\) comme le nombre de fois où on obtient 1 au cours des 10 répétitions. On cherche donc ici \(P(X = 4)\).
- Étape 5 : On applique la formule du cours : \(P(X = k) = (_{k}^n) \times p^k \times (1 – p)^{n – k}\).
La loi binomiale - Exercice 2
On lance 10 fois un dé bien équilibré.
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers ?
- Étape 1 : On redéfinit les conditions de l’expérience pour appliquer la loi binomiale (2 issues, répétitions indépendantes, etc.).
- Étape 2 : On cherche ici \(P(X \geq 1)\).
- Étape 3 : Pour s’éviter de longs calculs, on va utiliser l’événement contraire \(p(X \geq 1) = 1 – p(\overline{X \geq 1})\).
- Étape 4 : On peut voir ici que \(p(\overline{X \geq 1}) = p(X = 0)\).
- Étape 5 : On applique la formule du cours pour calculer \(P(X = 0)\) car \(X\) suit la loi \(\beta(10\ ; \frac{1}{6})\).
- Étape 6 : On termine le calcul pour trouver \(p(X \geq 1)\).
Espérance de la loi binomiale
À savoir par cœur
Si \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), alors : \(E(X) = n \times p\).