La suite $U_n = e^{na}$
La suite $U_n = e^{na}$
La suite $U_n = e^{na}$
Introduction
Soit $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ la suite définie par :
Pour tout $n \in \mathbb{N}, U_n = e^{na}$ avec $a \in \mathbb{R}$.
Si $a = 0$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}, U_n = e^{0} = 1$.
Etude de la suite $U_n = e^{na}$
Conjecture :
On suppose donc dans la suite que $a \neq 0$.
On se demande tout d’abord si la suite est géométrique.
On commence donc par calculer les premiers termes de la suite.
$U_0 = 1$ ; $U_1 = e^{a}$ ; $U_2 = e^{2a}$.
Puis on calcule les rapports successifs :
$\dfrac{U_1}{U_0} = e^{a}$
$\dfrac{U_2}{U_1} =\dfrac{e^{2a}}{e^{a}} = e^{2a – a}= e^{a} $
Ainsi, on peut émettre la conjecture que la suite semble géométrique de raison $e^{a}$.
Nature de la suite :
Vérifions cette conjecture :
Soit $n \in \mathbb{N}$,
$U_{n + 1} = e^{(n + 1)a} = e^{na + a} = e^{na} \times e^a$.
Ainsi, on a $U_{n + 1} = e^a e^{na} $ pour tout tout $n \in \mathbb{N}$.
La suite $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ est donc une suite géométrique de raison $q = e^a$ et $U_0 = 1$.
Il est important de raisonner sur l’ensemble des termes de la suite et ne pas déduire la nature de la suite à partir des premiers termes.
Forme explicite :
Comme $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ est une suite géométrique, on peut utiliser des propriétés du cours.
On peut d’abord donner sa forme explicite.
Pour tout $n \in \mathbb{N}, \ U_n = U_0 \times q^n = 1 \times (e^a)^n = e^{an}$.
On retrouve alors la forme donnée par la définition de la suite.
Somme de termes :
On peut aussi calculer la somme des $n + 1$ premiers termes de la suite, donnée par la formule suivante:
$\begin{aligned} S &= &U_0 + U_1 + … + U_{n-1} + U_n \\ S &=& U_0 \times \dfrac{1 – q^{n+1}}{1-q}\\ \end{aligned}$, avec $q\neq 1$.
Ici, comme $a \neq 0$, on a alors $q = e^a \neq 1$, donc $S = \dfrac{1 – (e^a)^{n+1}}{1-e^a} = \dfrac{1 – (e^{a(n+1)}}{1-e^a}$.
Variations :
On s’intéresse à présent aux variations de la suite $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$.
On cherche donc à déterminer si la suite est croissante ou décroissante.
Tout d’abord, on peut remarquer que $U_0 = 1 > 0$.
Si $a < 0$ alors $0 < q = e^a < 1$,
Ainsi comme la raison est inférieure à $1$, la suite $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ est décroissante.
Si $a > 0$ alors $ q = e^a > 1$,
Ainsi comme la raison est supérieure à $1$, la suite $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ est croissante.