Le vecteur vitesse - Partie 1
Le vecteur vitesse - Partie 1
I. Caractéristiques du vecteur vitesse
Comment définir le vecteur vitesse ?
La vitesse est une valeur. On lui ajoute maintenant une autre information : on dit que c’est un vecteur. En effet, le fait d’utiliser un vecteur pour décrire la vitesse permet d’avoir dans un seul objet plusieurs informations : un sens, une direction et une intensité/norme. Sur un schéma on représente un vecteur par une flèche.
Par exemple un wagon avance, il possède une vitesse qui va vers la droite : c’est dans cette direction que va le wagon. De même la Terre tournant autour du Soleil possède un vecteur vitesse à chaque instant.
En reprenant les caractéristiques d’un vecteur, on peut déduire les caractéristiques du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ :
– la direction : elle doit être tangente à la trajectoire ;
– le sens : sens du déplacement ;
– la valeur/norme : vitesse en m/s.
Exemple : pour la direction, dans le cas du wagon on a bien la direction tangente à la trajectoire puisque celle-ci est rectiligne. Pour la Terre tournant autour du Soleil, il faut prendre la tangente à l’ellipse que parcourt la Terre au cours du temps.
Sur un schéma, on peut trouver la norme de la vitesse grâce à une échelle qui est donnée : par exemple si l’échelle indique que 1 cm correspond à 10 m/s alors si la longueur du vecteur sur le schéma est de 2 cm alors sa norme est de 20 m/s.
II. Lien avec le vecteur position
Rappel : formule importante à retenir : $v_{moy}= \dfrac{d}{\Delta t }$.
Où,
$v_{moy}$ est la vitesse moyenne en m/s,
$d$ est la distance parcourue en m,
$\Delta t$ est la durée du parcours en s.
C’est une vitesse moyenne car durant la durée du parcours, on ne connait pas la vitesse à chaque instant de l’objet.
Maintenant, si l’on connaît deux points successifs de l’objet :
En reprenant la formule précédente on obtient : $v_{moy}=\dfrac{M(t)M(t+\Delta t)}{\Delta t}$.
En passant à la notion de vecteur, on peut faire l’analogie en remplaçant la vitesse moyenne par son vecteur correspondant et la distance par le vecteur correspondant : $\overrightarrow{v_{moy}}=\dfrac{\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}}{\Delta t}$.
Remarque : les deux vecteurs de cette équations sont proportionnels avec un coefficient de proportionnalité $ \frac{1}{\Delta t}$.
Ainsi $\overrightarrow{v_{moy}}$ et $\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}$ sont colinéaires.
On peut aussi écrire :
$\overrightarrow{v_{moy}}=\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+\Delta t)- \overrightarrow{OM}(t)}{\Delta t}$
où $O$ est l’origine du repère. En effet, le point $M$ peut être représenté par son vecteur position ${\overrightarrow{OM}},$ et ce à chaque instant.
On peut montrer que c’est la même équation car :
$\overrightarrow{v_{moy}}=\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+\Delta t)-\overrightarrow{OM}(t)}{\Delta t} $
$\overrightarrow{v_{moy}}=\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+\Delta t)+\overrightarrow{MO}(t)}{\Delta t}$
$\overrightarrow{v_{moy}}=\dfrac{\overrightarrow{M(t)M}(t+\Delta t)}{\Delta t}$ grâce à la relation de Chasles.
Question optionnelle
On sait que $\overrightarrow{v_{moy}}$ et $\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}$ sont colinéaires.
Cela peut donner l’impression que la vitesse est liée à des succession de points $M,$ alors que dans la première partie il est dit que la vitesse est tangente à la trajectoire. Ainsi, on voit que soit la vitesse est soit définie grâce à une trajectoire, soit définie par une succession de points. Quel est le lien entre les deux ? (Réponse dans le cours suivant.)
Le vecteur vitesse - Partie 2
Lien entre $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{v}_{moy}$
Il est ici question de faire le lien entre ces deux vitesses, avec pour rappel :
$\overrightarrow{v_{moy}}=\dfrac{\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}}{\Delta t}$
On s’intéresse à ces trois schémas décrivant une trajectoire d’une balle lancée :
Le trait horizontal représente le sol et la trajectoire est parabolique. Sur le premier schéma, la trajectoire parfaite est tracée : tous les points qui tracent la courbe sont présents, donc le tracé est continu. On peut alors calculer la vitesse en tous points grâce à la première partie du cours : on cherche la tangente à la courbe.
Le deuxième schéma représente la vraie expérience. La balle va bien parcourir la trajectoire parabolique sauf qu’en terme de chronophotographie seules deux positions sont connues : les points $M_1$ et $M_2.$ On voit ainsi que $\overrightarrow{v}_{moy}$ est éloigné de la vitesse $\overrightarrow{v}$ trouvée sur le premier schéma.
Le dernier schéma représente une amélioration du second schéma : on prend plus de photos de la trajectoire de la balle. On capte alors beaucoup plus de positions de l’objet. La précision est beaucoup plus grande car les photos sont prises avec un intervalle de temps beaucoup plus petit. Le vecteur $\overrightarrow{v}_{moy}$ est alors beaucoup plus proche du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$.
Conclusion
Si $\Delta t$ est très faible devant la durée typique du mouvement, alors $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{v}_{moy}$ sont quasiment identiques. Une durée typique du mouvement ici équivaut au temps que met la balle à atteindre le sol.
Le vecteur vitesse : exploitation d’une chronophotographie
I. La chronophotographie
On peut trouver le vecteur vitesse grâce à l’étude d’une chronophotographie.
Quel est le principe de la chronophotographie ?
Définition de la chronophotographie : succession de photos à un intervalle de temps $\Delta t$ régulier qui sont superposées.
Ce schéma est l’exemple simplifié d’une chronophotographie : un basketteur lance une balle et au fil des photos cette balle bouge et on observe la trajectoire de la balle. 11 photos on été prises pour aboutir à ce résultat, et on ajoute une échelle : ici 1 cm équivaut à à 10 cm dans la réalité et l’intervalle entre chaque photo est de $ \Delta t = 10 \ ms$.
II. Objectif
L’objectif typique dans ce genre de situation est de trouver et de représenter le vecteur vitesse à un endroit donné, ici on cherche $\overrightarrow{v_4}$.
Cette vitesse a trois informations importantes :
Direction : c’est la droite $M_4M_5$, car le vecteur vitesse est colinéaire au point et à son suivant (voir cours vecteur vitesse 1).
Sens : vers la droite.
Norme : on doit la calculer.
III. Calcul de $v_4$
On note $v_4$ la norme du vecteur $\overrightarrow{v_4}$.
Tout d’abord on a $v_4=\dfrac{d}{t}=\dfrac{M_4M_5}{\Delta t}=\dfrac{5 \times 10^{-2}}{10 \times 10^{-3}}=5 \ m/s$ en n’oubliant pas de bien utiliser l’échelle pour ne pas se tromper.
Ensuite, on crée l’échelle des vitesses : par exemple 1 cm équivaut à 1 m/s.
Pour finir, on trace le vecteur $\overrightarrow{v_4}$ sur le schéma en utilisant toutes les informations : direction, sens et norme.