Rappel 3e : Fractions
Rappel 3e : Fractions
Rappels 3e : Fractions
1) Somme, différence
Pour additionner deux fractions, ces dernières doivent avoir le même dénominateur et dans ce cas, il faut additionner les numérateurs.
Soient $a, b$ et $c$ trois réels tel que $b \neq 0$,
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}$.
Exemple : $1 + \dfrac{2}{3}$.
Pour calculer cette somme, il faut se souvenir que $1 = \dfrac{1}{1}$ ou encore en multipliant le numérateur et le dénominateur par 3 que $1 = \dfrac{3}{3}$.
Ainsi $1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3 + 2}{3} = \dfrac{5}{3}$.
2) Produit
Le produit de deux fractions ne nécessite pas que les fractions aient le même dénominateur. Ce produit est égal au rapport du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs.
Soient $a, b, c$ et $d$ tels que $b \neq 0$ et $d \neq 0$,
$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$.
Exemple : $\dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4 \times 2}{3 \times 5} = \dfrac{8}{15}$.
3) Quotient
Lors du quotient de deux fractions, il faut multiplier la première fraction par l’inverse de la seconde.
Soient $a, b, c$ et $d$ tels que $b, c, d$ non nuls,
$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$
Exemple :
$\dfrac{\dfrac{3}{4}}{15} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{15}= \dfrac{3}{4 \times 15} =\dfrac{3}{4 \times 3 \times 5}= \dfrac{1}{20}$.
4) Fraction d’un nombre
On souhaite par exemple calculer $\dfrac{4}{5}$ de 250€ qui revient à calculer le produit des deux :
$\dfrac{4}{5} \times 250 = 200$ €.
Rappel 3e : Puissances
Rappel 3e : Puissances
1) Puissance de 10
Soit $n$ un entier naturel,
a) $10^n = 1\underbrace{0…0}_{n \text{ zéros}}$
Par exemple $10^4 = 10000$: un 1 puis quatre 0.
b) $10^{-n} = 0,\underbrace{0…01}_{n \text{ chiffres}}$
Par exemple $10^{-3} = 0,001$ : trois chiffres après la virgule.
Par convention $10^0 = 1$.
2) Puissance d’un nombre
Soit $a$ un réel non nul et $n$ un entier,
Par convention, $a^0 = 1$.
$a$ puissance $n$ est par définition $n$ fois le nombre $a$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times … \times a}_{n \text{ fois le nombre } a}$.
Par exemple, $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
Soient $m$ et $n$ des entiers relatifs,
a) $a^m \times a^n = a^{m + n}$
Par exemple, $2^4 \times 2^3 = 2^{4 + 3} = 2^7$.
b) $\left ( a^m \right )^n = a ^{m \times n}$
Par exemple, $(5^4)^{-2} = 5^{4 \times (-2)} = 5^{-8}$.
c) $ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m – n}$
Par exemple, $\dfrac{3^5}{3^{-7}} = 3^{5 – (-7)} = 3^{12}$.
d) $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ avec $b$ un réel
Par exemple $(5 \times 3)^2 = 5^2 \times 3^2$.
Simplifier avec des racines carrées
Exemple :
- \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}\)
- \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}\)
- \( \sqrt{48} + \sqrt{75} = 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3}\)