L’incontournable du chapitre

Rappel 3e : Réciproque du théorème de Thalès

Réciproque du théorème de Thalès

Théorème :

Si $O, E, G$ d’une part et $O, F, H$ d’autre part sont alignés dans le même ordre

et si $\dfrac{OE}{OG} = \dfrac{OF}{OH}$

Alors les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles. 

Exemple :

Démontrer que les droites $(DE)$ et $(FG)$ sont parallèles. 

On commence donc par calculer de manière distincte $\dfrac{OG}{OD}$ et $\dfrac{OF}{OE}$.

Ainsi $\dfrac{OG}{OD} = \dfrac{5}{7}$.

De même, $\dfrac{OF}{OE} = \dfrac{3}{4,2} = \dfrac{30}{42} = \dfrac{5}{7}$.

Il ne faut pas donner les résultats sous forme approchée car il ne sera plus possible de comparer les deux fractions : il faut donc écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 

Donc, $\dfrac{OG}{OD} = \dfrac{OF}{OE}$.

$O, D, G$ d’une part et $O, E, F$ d’autre part sont alignés dans le même ordre.

Alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(DE)$ et $(FG)$ sont parallèles. 

Rappel 3e : Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$

Ou encore :

la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré de l’hypoténuse. 

Cette relation permet, en connaissant la longueur de deux côtés, de trouver la longueur du dernier côté. 

Exemple :

Soit $OMP$ un triangle rectangle en $O$, tel que $OM = 5 $ et $MP = 13$.

D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $OMP$ rectangle en $O$,

${OM}^2 + {OP}^2 = {MP}^2$ 

$5^2 + {OP}^2 = {13}^2$

$25 + {OP}^2 = 169$

${OP}^2 = 169 – 25$

${OP}^2 = 144$

$OP = \sqrt{144}$

$OP = 12$

Rappel 3e : Réciproque du théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore

Soit $ABC$ un triangle,

si ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$, alors $ABC$ est un triangle rectangle en $A$

ou encore

si la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré du troisième alors le triangle est rectangle et le troisième côté est l’hypoténuse. 

Ce théorème permet de prouver qu’un triangle est rectangle en connaissant la valeur de ses côtés.

Exemple :

Soit un triangle $RST$ tel que $RT = 1,2$  $TS = 1,6$  $RS = 2$. 

Si l’énoncé ne fournit pas de schéma, il est utile d’en faire un à main levée qui respecte les proportions (le plus grand côté sur le schéma correspond au plus grand côté du triangle $RST$). 

Si ce triangle est rectangle, alors son hypoténuse est $RS$ car c’est le plus grand côté.

On calcule alors ${RS}^2$ que l’on compare à ${RT}^2 + {TS}^2$.

Ainsi, ${RS}^2 = 2^2 = 4$.

De même, ${RT}^2 + {TS}^2 = {1,2}^2 + {1,4}^2 = 1,44 + 2,56 = 4$.

Donc ${RS}^2 = {RT}^2 + {TS}^2$.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $T$. 

Coordonnées du milieu d'un segment

Coordonnées du milieu d’un segment

Formules

On se place dans un repère.

Soit $I(x_I; y_I)$ le milieu de $[AB]$ avec $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$,

Les coordonnées de $I$ sont :

$\left \{ \begin{array}{l} x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} \\  y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2} \end{array} \right.$

 $ \dfrac{x_A + x_B}{2}$ est appelée une demi-somme.

Exemple

Considérons le schéma suivant et calculons les coordonnées du point $I$ milieu de $[AB]$:

D’après la formule, les coordonnées sont :

$\left \{ \begin{array}{l} x_I = \dfrac{-2 + 3}{2} \\  y_I = \dfrac{1 + (-2)}{2} \end{array} \right.$

Finalement, $I\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{-1}{2}\right)$. 

Longueur d’un segment

Longueur d’un segment

Formule

On se place dans un repère orthonormé $(O; I; J)$.

Soient $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ deux points du plan,

la longueur $AB$ est donnée par :

$AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$.

Il faudra prêter une attention particulière à l‘ordre lors de la soustraction.

Considérons le schéma suivant et déterminons la longueur $AB$ :

On a:

$AB =  \sqrt{(-2 – 1)^2 + (1 – 3)^2} $

$AB= \sqrt{9 + 4} $

$AB= \sqrt{13}$