Produit de matrices
Produit de matrices
Produit de matrices
Définition
Soit $A$ une matrice $(n\times p)$.
Soit $B$ une matrice $(p\times m)$.
Pour pouvoir multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la seconde.
Exemple
Soit $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 2\\
\end{pmatrix} $ une matrice $(2\times 3)$ et
$B=\begin{pmatrix}1 & 4 \\
2 & 0\\
-1 & 3\\\end{pmatrix} $ une matrice $(3\times 2)$
On peut calculer le produit $A\times B$ des matrices de la façon suivante :
$A\times B=\begin{pmatrix}
1 \times 1+2 \times 2 – 1 \times 3 & 1 \times 4 +2 \times 0 +3 \times 3\\
1 \times 0+ 2\times (-1) +2 \times (-1) & 4 \times 0 +(-1) \times 0 +3 \times 2\\
\end{pmatrix} $
$A\times B=\begin{pmatrix}2& 13\\
-4 & 6\\
\end{pmatrix} $
Remarque :
On peut ici effectuer le produit $B\times A$ car les dimensions des matrices s’y prêtent.
Ce n’est pas le cas général, il faut toujours vérifier les dimensions des matrices à multiplier.
On dira que le produit des matrices n’est pas commutatif.
Puissance d'une matrice
Puissance d’une matrice carrée
Définition : matrice diagonale $D_n$
Une matrice est diagonale lorsque les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.
Voici un exemple de matrice diagonale d’ordre 3.
$D_3=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix} $
Puissance d’une matrice diagonale $D_n$
Si on souhaite obtenir par exemple le carré de la matrice $D_3$, on élève au carré chaque coefficient de la diagonale. Ainsi :
$D_3^{2}=\begin{pmatrix}
3^2 & 0 & 0 \\
0 & (-1)^2 & 0\\
0 & 0 & 2^2\\
\end{pmatrix} $ $\iff$ $D_3^{2}=\begin{pmatrix}
9 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 4\\
\end{pmatrix} $
Puissance d’une matrice carrée
De façon générale, pour toute matrice carrée $A$ et pour tout entier $n\geqslant {2}$
$A^2= A \times A$;
$A^3= A^2 \times A =A \times A^2$
$A^n= A^{n-1}\times A=A\times A^{n-1}$
Exemple
Par multiplications successives, on obtient aisément les puissances d’une matrice carrée d’ordre 2.
$A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$
$A^2 =\begin{pmatrix}
1 & -3 \\
9 & -2\\
\end{pmatrix}$
$A^3 =\begin{pmatrix}
-7 & -4 \\
12 & -11\\
\end{pmatrix}$
Matrice inverse
Matrice inverse
Définition
Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$. On note $ I_n$ la matrice unité d’ordre $n$.
S’il existe une matrice $B$ tel que :
$A \times B= B \times A= I_n$,
Alors $A$ est inversible et sa matrice inverse est $B=A^{-1}$.
Propriété
Soit $A =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d\\
\end{pmatrix}$ une matrice carré d’ordre $2$
Si $ad-bc \neq 0$ alors $A$ est inversible et sa matrice inverse $A^{-1}$ vaut :
$A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a\\
\end{pmatrix}$
Exemple
Soit $M =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$.
Vérifier que $M$ est inversible et déterminer sa matrice inverse.
Correction
On calcule :
$ad-bc = 2 \times 1 – (-1)\times3 =5$
$ad-bc \neq 0$ $M$ est donc inversible.
Déterminons sa matrice inverse $M^{-1}$
On a:
$M^{-1} = \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-3 & 2\\
\end{pmatrix}$ $\iff$ $M^{-1} = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\[0.5cm]
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix}$.
On peut aisément vérifier que
$M\times M^{-1}=M^{-1}\times M = I_{2}$
Matrice et système linéaire
Matrices et systèmes d’équations linéaires
Définition
On considère le système d’équations suivant :
$\left \{ \begin{array}{rccc}x+y+2z & = &9 \\ x-y+z&=&2 \\ 2x+y-z & = & 1 \\ \end{array} \right.$
Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :
$A =\begin{pmatrix}
1 & 1&2 \\
1 & -1&1\\
2 & 1&-1\\
\end{pmatrix}$ ; $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
z\\
\end{pmatrix} $ et
$B =\begin{pmatrix}
9\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}. $
Le système se traduit alors par : $AX=B$.
Propriété
Si $AX=B$ et $A$ inversible alors
$X=A^{-1} \times B$.
Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse $A^{-1}$ est donnée dans l’énoncé.
Etape 2 : On effectue le produit $X=A^{-1} \times B$.
Le calcul nous permet de conclure que :
$X =\begin{pmatrix}
1 \\
2\\
3\\
\end{pmatrix} $.
La solution du système est donc le triplet $(1;2;3)$.
Exemple avec un système linéaire d’équations d’ordre 2.
Résoudre le système d’équations suivant :
$\left \{ \begin{array}{rccc}2x-y & = &-8 \\3x+y& = &-7 \\ \end{array} \right.$
On peut le traduire par $AX=B$ avec :
$A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$ ; $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
\end{pmatrix} $ et
$B =\begin{pmatrix}
-8 \\
-7\\
\end{pmatrix}$.
En considérant $A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$, on vérifie que :
$ad-bc =5 \neq 0$.
On peut alors calculer :
$A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-3 & 2\\
\end{pmatrix}$
$\iff$ $A^{-1} = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix}$.
On a donc :
$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-8 \\
-7\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-\dfrac{15}{5} \\
\dfrac{10}{5}\\
\end{pmatrix}$.
$X=\begin{pmatrix}
-3 \\
2\\
\end{pmatrix}$.
La solution du système est le couple $(-3;2)$