L’incontournable du chapitre

Propriétés de la fonction cosinus

Propriétés de la fonction Cosinus

On pose pour \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = \cos x\).

1) On a \( \cos (x + 2\pi) = \cos x\)

Soit \(f(x + 2\pi) = f(x)\).

On dit que \(f\) est \(2\pi\) périodique.

Conséquence : On peut tracer la courbe uniquement sur un intervalle de longueur \(2\pi\).

2) On a \(\cos (-x) = \cos x\).

Soit \(f(-x) = f(x)\).

La fonction est paire.

Conséquence : La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Étude de la fonction sinus

Etude de la fonction sinus

Domaine de définition et dérivée

La fonction sinus est définie sur $\mathbb{R}$.

Elle est impaire (pour tout $x\in\mathbb{R}, \sin(-x)=-\sin(x)$) et $2\pi$-périodique (pour tout $x\in\mathbb{R}, \sin(x+2\pi)=\sin(x)$) ce qui permet de restreindre son étude à $[0,\pi]$.

Son domaine de dérivabilité est $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}, \sin'(x)=\cos(x)$.

Variations sur $[0,\pi]$

Pour étudier les variations de la fonction sinus, on étudie le signe de sa dérivée c’est-à-dire le signe de $\cos(x)$ sur $[0,\pi]$.

Représentation graphique

Courbe représentative de la fonction sinus obtenue avec les propriétés de parité et de périodicité de la fonction :

Propriétés algébriques et autres formules

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)$ 

Pour tous $a,b$ réels, $\sin(a+b)=\cos(a)\sin(b)+\cos(b)\sin(a)$.

Formule d’Euler : $\sin(\theta)= \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

$\sin(-x)=-\sin(x)$

$\sin(x+\pi)= -\sin(x)$

$\sin(\frac{\pi}{2}-x)= \cos(x)$

Propriétés de la fonction sinus

Propriétés de la fonction Sinus

On pose, pour \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = \sin \ x\)

1) On a \( \sin (x+2 \pi) = \sin \ x\)

Soit \( f (x+2 \pi) = f (x)\)

On dit que \(f\) est \(2\pi\) périodique.

Conséquence : On peut tracer la courbe uniquement sur un intervalle de longueur \(2\pi\).

2) On a \( \sin (-x) = \sin \ x\)

Soit \( f (-x) = -f (x)\)

La fonction \(f\) est impaire.

Conséquence : La courbe est symétrique par rapport à l’origine \(O\) du repère.

Calculs de limites de fonctions trigonométriques

Calculs de limites de fonctions trigonométriques

Limites au voisinage de l’infini

Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en $+\infty$ ni en $-\infty$.

Cependant, on peut comparer leurs croissances aux puissances de $x$ :

$\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \dfrac{\cos(x)}{x^n}=0$ avec $n\in \mathbb{N}^\star$

$\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \dfrac{\sin(x)}{x^n}=0$ avec $n\in\mathbb{N}^\star$

Ces résultats s’obtiennent très facilement avec le théorème des gendarmes

Limite en $0$

En faisant apparaître un taux de variation, on montre que :

${\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1}$

Preuve :

$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0} =\sin'(0) = \cos(0) = 1$

Exemple

Calculer la limite en $0$ de la fonction $f(x)=\dfrac{\sin(4x)}{x}$.

Il s’agit ici de faire apparaître un taux de variation pour pouvoir calculer cette limite qui est une forme indéterminée du type : $\dfrac00$.

Pour cela, on écrit $f(x) = 4 \times \dfrac{\sin(4x)}{4x}$.

Or, on sait que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$ et si le nombre $x$ tend vers $0$ alors $4x$ tend aussi vers $0$.

Ainsi : $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(4x)}{4x}=1$.

En multipliant par la constante $4$, on en déduit finalement la limite de $f$ en $0$ :

${\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=4}$

Dérivation des fonctions trigonométriques

Dérivation de fonctions trigonométriques

Propriétés

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Pour tout $x\in \mathbb{R},$

$(\cos(ax+b))’=-a\sin(ax+b)$

$(\sin(ax+b))’=a\cos(ax+b)$

En particulier, pour $a=1$ et $b=0$,

Pour tout $x\in \mathbb{R},$

$(\cos(x))’=-\sin(x) $

$(\sin(x))’=\cos(x) $

Exemples

Dériver les fonctions suivantes en précisant leurs ensembles de dérivabilité :

1) $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ 

2) $g(x) = \dfrac{\sin(3-2x)}{2}$ sur $\mathbb{R}$

3) $k(x)= \sin(x)\cos(x)$ sur $\mathbb{R}$

Correction

1) $f$ est dérivable sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ avec $\cos(x)$ non nul sur cet intervalle.

On écrit $u(x)=\sin(x)$ et $v(x)=\cos(x)$ de sorte que $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$.

On a alors $u'(x)=\cos(x)$ et $v'(x)=-\sin(x)$  et pour tout $x\in \left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ : 

$ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

$f'(x)= \dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$

2) Pour $x\in\mathbb{R}$ :

$ g'(x)  = -2\cos(3-2x)\times \dfrac12$

soit $ g'(x)  = -\cos(3-2x)$

3) $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On écrit $u(x)=\cos(x)$ et $v(x)=\sin(x)$ de sorte que $k(x)=u(x)v(x)$

On a alors : $u'(x)=-\sin(x)$ et $v'(x)=\cos(x)$.

Ainsi, pour $x\in\mathbb{R}$ :

$ k'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

$ k'(x)=-\sin^2(x)+\cos^2(x) $

$ k'(x)= 2\cos^2(x)-1$

$ k'(x)=\cos(2x)$

Équations trigonométriques

Equations trigonométriques

Egalité de cosinus ou de sinus

Conditions d’égalité de deux cosinus :

$ \cos(x)=\cos(a) \Leftrightarrow x=a+2k\pi \text{ ou } x=-a+2k\pi \text{ avec } k\in \mathbb{Z}$

Conditions d’égalité de deux sinus :

$\sin(x)=\sin(a) \Leftrightarrow x=a+2k\pi \text{ ou } x=(\pi-a)+2k\pi \text{ avec } k\in\mathbb{Z}$

Exemple

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\sin(3x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$

On a $\dfrac{\sqrt2}{2}=\sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)$ d’après le cours, donc :

$\sin(3x)=\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow 3x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$     ou    $3x=\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)+2k\pi = \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi $

C’est à dire :

$x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2k\pi}{3}$   ou   $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2k\pi}{3}$ avec $k\in\mathbb{Z}$