Opérations sur les fractions
Opérations sur les fractions
Opérations sur les fractions
1) Somme ou différence de deux fractions
Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire, il faut qu’ils aient le même dénominateur.
On réduit donc les nombres au même dénominateur.
Exemples :
On souhaite calculer $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{9}$.
On ne peut pas additionner directement les deux nombres, on réduit donc ces fractions au même dénominateur.
Pour cela, on multiplie la première en haut et en bas par le dénominateur de la seconde et inversement.
Ainsi,
$\dfrac{2 \times 9}{5 \times 9} + \dfrac{1 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{18}{45} + \dfrac{5}{45}$
$\dfrac{2 \times 9}{5 \times 9} + \dfrac{1 \times 5}{9 \times 5}= \dfrac{23}{45}$.
On souhaite à présent calculer $\dfrac{3}{14} – \dfrac{1}{7}$.
Si on suivait la méthode précédente, on devrait multiplier la première fraction en haut et en bas par $7$ et la seconde en haut et en bas par $14$, mais cela compliquerait grandement les calculs.
Le bon point de vue ici consiste à remarquer que $14 = 7 \times 2$; autrement dit, en multipliant la deuxième fraction en haut et en bas par $2$, on obtiendrait deux nombres fractionnaires ayant le même dénominateur !
Ainsi,
$\dfrac{3}{14} – \dfrac{1}{7} = \dfrac{3}{14} – \dfrac{1 \times 2}{7 \times 2}$
$\dfrac{3}{14} – \dfrac{1}{7}= \dfrac{3}{14} – \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{14}$.
2) Produit de fractions
Multiplier deux fractions revient à effectuer le quotient du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs.
Exemples :
$\dfrac{3}{2} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{3 \times 5}{2 \times 4} = \dfrac{15}{8}$.
$\dfrac{8}{3} \times \dfrac{7}{4}$.
Avant de se lancer dans les calculs, il est bon de regarder si on ne peut pas simplifier.
On peut en effet remarquer que $8 = 4 \times 2$.
Dès lors,
$\dfrac{8}{3} \times \dfrac{7}{4} = \dfrac{4\times 2 \times 7}{3 \times 4} = \dfrac{2\times 7}{3} = \dfrac{14}{3}$.
3) Quotients de fractions
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Exemples :
$\dfrac{4}{5} \div \dfrac{11}{6} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{11}$
$\dfrac{4}{5} \div \dfrac{11}{6}= \dfrac{24}{55}$.
Les fractions - propriétés
Rappels 3e : Fractions
1) Somme, différence
Pour additionner deux fractions, ces dernières doivent avoir le même dénominateur et dans ce cas, il faut additionner les numérateurs.
Soient $a, b$ et $c$ trois réels tel que $b \neq 0$,
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}$.
Exemple : $1 + \dfrac{2}{3}$.
Pour calculer cette somme, il faut se souvenir que $1 = \dfrac{1}{1}$ ou encore en multipliant le numérateur et le dénominateur par 3 que $1 = \dfrac{3}{3}$.
Ainsi $1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3 + 2}{3} = \dfrac{5}{3}$.
2) Produit
Le produit de deux fractions ne nécessite pas que les fractions aient le même dénominateur. Ce produit est égal au rapport du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs.
Soient $a, b, c$ et $d$ tels que $b \neq 0$ et $d \neq 0$,
$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$.
Exemple : $\dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4 \times 2}{3 \times 5} = \dfrac{8}{15}$.
3) Quotient
Lors du quotient de deux fractions, il faut multiplier la première fraction par l’inverse de la seconde.
Soient $a, b, c$ et $d$ tels que $b, c, d$ non nuls,
$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$
Exemple :
$\dfrac{\dfrac{3}{4}}{15} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{15}= \dfrac{3}{4 \times 15} =\dfrac{3}{4 \times 3 \times 5}= \dfrac{1}{20}$.
4) Fraction d’un nombre
On souhaite par exemple calculer $\dfrac{4}{5}$ de 250€ qui revient à calculer le produit des deux :
$\dfrac{4}{5} \times 250 = 200$ €.
Les puissances
Rappel 3e : Puissances
1) Puissance de 10
Soit $n$ un entier naturel,
a) $10^n = 1\underbrace{0…0}_{n \text{ zéros}}$
Par exemple $10^4 = 10000$: un 1 puis quatre 0.
b) $10^{-n} = 0,\underbrace{0…01}_{n \text{ chiffres}}$
Par exemple $10^{-3} = 0,001$ : trois chiffres après la virgule.
Par convention $10^0 = 1$.
2) Puissance d’un nombre
Soit $a$ un réel non nul et $n$ un entier,
Par convention, $a^0 = 1$.
$a$ puissance $n$ est par définition $n$ fois le nombre $a$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times … \times a}_{n \text{ fois le nombre } a}$.
Par exemple, $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
Soient $m$ et $n$ des entiers relatifs,
a) $a^m \times a^n = a^{m + n}$
Par exemple, $2^4 \times 2^3 = 2^{4 + 3} = 2^7$.
b) $\left ( a^m \right )^n = a ^{m \times n}$
Par exemple, $(5^4)^{-2} = 5^{4 \times (-2)} = 5^{-8}$.
c) $ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m – n}$
Par exemple, $\dfrac{3^5}{3^{-7}} = 3^{5 – (-7)} = 3^{12}$.
d) $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ avec $b$ un réel
Par exemple $(5 \times 3)^2 = 5^2 \times 3^2$.
Opérations sur les relatifs - Addition et soustraction - Rappels 4e
Addition et soustraction de nombres relatifs
I) Somme
La somme est le résultat d’une addition.
Pour additionner deux nombres relatifs, deux cas se présentent :
1) les deux nombres sont de même signe, et dans ce cas, on garde le signe commun et on ajoute les distances à zéro
Exemples :
$(+5) + (+3)$
Les deux nombres sont positifs, le résultat est donc positif, puis on ajoute les distances à zéro : $5 + 3 = 8$.
Ainsi $(+5) + (+3) = + 8$
$(-5) + (-3)$
Les deux nombres sont négatifs, le résultat est donc négatif, puis on ajoute les distances à zéro : $5 + 3 = 8$.
Ainsi $(-5) + (-3) = – 8$
2) ils sont de signes contraires, et dans ce cas, on conserve le signe de celui ayant la plus grande distance à zéro puis on soustrait les distances à zéro.
Exemples :
$(+7) + (-3)$
Un nombre est positif, un autre est négatif : les deux nombres sont donc de signes contraires.
Le nombre ayant la plus grande distance à zéro est $+7$, donc le résultat est positif et la différence des distances à zéro vaut $7 – 3 = 4$.
Ainsi, $(+7) + (-3) = + 4$
$(-7) + (+3)$
Un nombre est positif, un autre est négatif : les deux nombres sont donc de signes contraires.
Le nombre ayant la plus grande distance à zéro est $-7$, donc le résultat est négatif et la différence des distances à zéro vaut $7 – 3 = 4$.
Ainsi, $(-7) + (+3) = – 4$
Un autre moyen de réaliser ses calculs est de considérer qu’un nombre positif correspond à un nombre d’étages montés et qu’un nombre négatif correspond à un nombre d’étages descendus. En comptant à la fin des deux opérations le nombres d’étages nous séparant de zéro, on obtient le résultat du calcul.
Exemple :
$(-7) + (+3) $
Je descends de 7 étages puis je monte de 3 étages. Au final, j’ai descendu 4 étages.
Le résultat est donc négatif car globalement, on a descendu et vaut $-4$.
Donc $(-7) + (+3) = – 4$.
II) Différence
La différence est le résultat d’une soustraction.
L’opposé d’un nombre relatif est ce même nombre mais de signe contraire, de telle sorte que la somme d’un nombre et de son opposé vaille $0$.
Exemples :
L’opposé de $5$ est $-5$.
L’opposé de $-3$ est $3$.
L’opposé de $\dfrac{2}{3}$ est $-\dfrac{2}{3}$.
Définition :
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
On utilise donc les règles de l’addition pour terminer le calcul.
Exemples :
$A=(+7) – (+4)$
On réécrit cette différence en la transformant en une somme.
Soustraire $(+4)$ revient à ajouter son opposé, c’est à dire $(-4)$.
Ainsi $(+7) – (+4) = (+7) + (-4)$
Les deux nombres sont de signes contraires.
Or le nombre ayant la plus grande distance à zéro est $+7$ le résultat est positif et la différence des distances à zéro vaut $7 – 4 = 3$
Ainsi, $(+7) – (+4) = + 3$
$B=(-15) – (-5)$
On réécrit cette différence en la transformant en une somme.
Soustraire $(-5)$ revient à ajouter son opposé, c’est à dire $(+5)$.
Ainsi $(-15) – (-5) = (-15) + (+5)$
Les deux nombres sont de signes contraires.
Or le nombre ayant la plus grande distance à zéro est $-15$ le résultat est négatif et la différence des distances à zéro vaut $15 – 5 = 10$
Ainsi, $(-15) – (-5) = – 10$
Opérations sur les relatifs - Multiplication et division
Multiplication et division de nombres relatifs
I) Produit
Le produit correspond au résultat d’une multiplication.
1) Pour effectuer la multiplication de deux nombres relatifs, on commence par déterminer le signe du produit puis la distance à zéro du produit.
Pour déterminer le signe du produit, on applique la règle suivante :
– Le produit de deux nombres de même signe est positif
– Le produit de deux nombres de signes contraintes est négatif
La distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro des facteurs, c’est à dire que l’on effectue le produit des facteurs sans signe.
Exemples : calculons
$A=(+3) \times (+4)$.
Il s’agit du produit de deux nombres de même signe, le résultat est donc positif et la distance à zéro vaut $3 \times 4 = 12$.
Ainsi, $(+3) \times (+4) = + 12$.
$B=(-2) \times (+10)$.
Il s’agit du produit de deux nombres de signes contraires, le résultat est donc négatif et la distance à zéro vaut $2 \times 10 = 20$.
Ainsi, $(-2) \times (+10) = -20$.
$C=(-5) \times (-6)$.
Il s’agit du produit de deux nombres de même signe, le résultat est donc positif et la distance à zéro vaut $5 \times 6 = 30$.
Ainsi, $(-5) \times (-6) = + 30$.
$D=(+4) \times (-3)$.
Il s’agit du produit de deux nombres de signes contraires, le résultat est donc négatif et la distance à zéro vaut $4 \times 3 = 12$.
Ainsi, $(4) \times (-3) = – 12$.
2) Si l’on souhaite désormais effectuer le produit de plus de deux nombres, on détermine le signe du produit puis la distance à zéro de ce dernier.
Pour déterminer le signe du produit, on compte le nombre de facteurs négatifs dans le produit :
– si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif
– si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif
Exemples :
$(+3) \times (-2) \times (-5) \times (+1) \times (-7)$.
On commence par compter le nombre de facteurs négatifs. Il y en a 3 au total. Comme trois est un nombre impair, le produit est négatif.
On calcule ensuite la distance à zéro du produit $3 \times 2 \times 5 \times 1 \times 7 = 210$.
Finalement,
$(+3) \times (-2) \times (-5) \times (+1) \times (-7) = – 210$
$(+3) \times (-2) \times (-5) \times (-1) \times (-7)$.
On commence par compter le nombre de facteurs négatifs. Il y en a 4 au total. Comme 4 est un nombre pair, le produit est positif.
On calcule ensuite la distance à zéro du produit $3 \times 2 \times 5 \times 1 \times 7 = 210$.
Finalement,
$(+3) \times (-2) \times (-5) \times (+1) \times (-7) = + 210$
II) Quotient
On commence à nouveau par déterminer le signe du quotient puis on calcule la distance à zéro du quotient.
Pour déterminer le signe du quotient, on applique la règle suivante :
– Le quotient de deux nombres de même signe est positif
– Le quotient de deux nombres de signes contraintes est négatif
Et, la distance à zéro du quotient est le quotient des distances à zéro, c’est à dire que l’on effectue le quotient sans signe.
Exemples : calculons
$A=\dfrac{+3}{+2}$
Il s’agit d’un quotient de deux nombres de même signe, le résultat est positif.
De plus, la distance à zéro vaut $\dfrac{3}{2}= 1,5$.
Finalement, $\dfrac{+3}{+2} = + \dfrac{3}{2} = +1,5$.
$B=\dfrac{-42}{+7}$
Il s’agit d’un quotient de deux nombres de signes contraires, le résultat est négatif.
De plus, la distance à zéro vaut $\dfrac{42}{7} = 6$.
Finalement, $\dfrac{-42}{+7} = – 6$.
$C=\dfrac{-63}{-3}$
Il s’agit d’un quotient de deux nombres de même signe, le résultat est positif.
De plus, la distance à zéro vaut $\dfrac{63}{3}= 31$.
Finalement, $\dfrac{-63}{-3} = + 31$.
$D=\dfrac{+4}{-20}$
Il s’agit d’un quotient de deux nombres de signes contraires, le résultat est négatif.
De plus, la distance à zéro vaut $\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5} = 0,2$.
Finalement, $\dfrac{+4}{-20} = – 0,2$.