Factorisation
Factorisation
Factorisation
En utilisant $ka + kb = k(a + b)$
La première méthode pour factoriser consiste à appliquer la formule suivante :
$ka + kb = k(a + b)$.
Elle repose sur la recherche et l’identification de facteur commun, qui doit être présente dans chaque terme de la somme.
Exemples :
Factoriser les expressions suivantes.
a) $A= 6x – 18$.
Le facteur commun est $6$ ici.
En effet $18 = 3 \times 6$.
Ainsi,
$A=6x – 18 = 6x – 6 \times 3 = 6(x – 3)$.
b) $B=(x + 1)^2 – (2x + 7)(x + 1)$.
Il faut ici se rappeler que
$(x + 1)^2 = (x + 1) \times (x + 1)$.
Ainsi, le facteur commun est $(x + 1)$.
$B= (x + 1) \times (x + 1) – (2x + 7)(x + 1) $
$B= (x + 1)[(x + 1) – (2x + 7)]$.
Il faut ensuite développer et réduire les termes dans le crochet, en veillant à ne pas se tromper sur les signes.
$B= (x + 1)[x + 1 – 2x – 7] $
$B= (x + 1)(-x – 6)$.
Factoriser avec les identités remarquables (programme de seconde)
La deuxième manière consiste à utiliser les identités remarquables.
Pour rappel, les identités remarquables sont :
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a- b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$
$(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$
Exemple :
Factoriser l’expression $4x^2 + 12x + 9$.
On remarque que seule la première égalité pourrait convenir.
On cherche à présent si elle convient réellement, en cherchant la valeur de $a$ et de $b$.
On aurait $4x^2 = a^2$, c’est à dire $a= 2x$.
De même, on aurait $b^2 = 9$, c’est à dire $b = 3$.
Il faut maintenant calculer $2ab = 12x$.
On peut donc appliquer la première égalité.
Ainsi $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$.
Double distributivité
Double distributivité
La formule de la double distributivité est la suivante :
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Exemples :
a) Développer $(x + 2)(3x + 4)$.
On applique la formule avec $a = x, b = 2, c = 3x$ et $d = 4$.
Ainsi,
$(x + 2)(3x + 4) = x \times 3x + x \times 4 + 2 \times 3x + 2 \times 4 $
$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 4x + 6x + 8$
La dernière étape du calcul consiste à regarder si il est possible d’effectuer une réduction, en regroupant les termes semblables.
Finalement,
$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 10x + 8$.
b) Développer $(5x – 7)(6 – 2x)$.
L’astuce consiste à réécrire, lorsque l’on débute, le produit sous la forme
$(5x – 7)(6 – 2x) = (5x + (- 7))(6 + (- 2x))$.
Ainsi, on applique la formule avec $a = 5x, b = -7, c = 6$ et $d = -2x$.
On trouve alors que :
$(5x – 7)(6 – 2x) =(5x + (- 7))(6 + (- 2x))$
$(5x – 7)(6 – 2x) = 30x – 10x^2 + – 42 + 14x$
$(5x – 7)(6 – 2x) = -10x^2 + 44x – 42$
c) Développer $(1 + y)(2y – 3)$
$(1 + y)(2y – 3) = 2y – 3 + 2y^2 -3y $
$(1 + y)(2y – 3) = 2y^2 – y -3$.
Factoriser avec un facteur commun
Factoriser avec un facteur commun
Propriété
Pour tous nombres $a, b$ et $k$, on a :
$k\times a + k\times b = k(a + b) $
On passe d’une somme à un produit : c’est la factorisation.
Pour factoriser une expression, il faut faire apparaître le facteur commun aux deux termes de la somme.
Exemples :
- Factoriser $6x + 12$
On remarque que $12 = 6 \times 2$, $6$ est donc le facteur commun. Ainsi,
$6x + 12 = 6\times x + 6 \times 2 $
$6x + 12 = 6(x + 2)$.
En développant cette expression, on retrouve l’expression initiale.
- Factoriser $21 – 7x$.
On remarque que $21$ est un multiple de $7$, donc $7$ est le facteur commun.
$21 – 7x = 7 \times 3 – 7 \times x $
$21 – 7x = 7 ( 3 -x )$.
- Factoriser $3 + 3x$.
Le facteur commun est $3$. Il faut cependant faire apparaitre dans chacun des termes un produit faisant intervenir $3$.
On se rappelle alors que $3 = 3 \times 1$. Ainsi,
$3 + 3x = 3\times 1 + 3 \times x
$3 + 3x= 3 (1 + x)$
- Factoriser $(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)$
Le facteur commun est ici $(x+2)$. Ainsi :
$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)= (x+2)[(3x+4)+(5x-2)]$
$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)=(x+2)(3x+4+5x-2)$
$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)=(x+2)(8x+2)$