Agrandissement - Réduction
Agrandissement - Réduction
Agrandissement – Réduction
Propriétés
Lorsque l’on réalise un agrandissement ou une réduction d’une figure ou d’un solide, toutes les longueurs sont multipliées par un coefficient multiplicateur $k$.
Les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes sont multipliés par $k^3$.
Lorsqu’il s’agit d’un agrandissement, le coefficient $k$ est supérieur strictement à 1.
Lorsqu’il s’agit d’une réduction, le coefficient $k$ est inférieur strictement à 1 et positif.
1)
Par exemple, le cube a été agrandit d’un coefficient égal à 3. Ses surfaces ont donc été multipliées par 9.
Le cube ainsi agrandi est donc 27 fois plus volumineux que le cube initial.
2)
Le rayon de la boule a été réduit de moitié. Le coefficient multiplicateur est donc égal à 0,5 : le diamètre est deux fois plus petit.
La surface de la sphère est donc multipliée par $(0,5)^2=0,25$
Le volume de la boule est multiplié par $(0,5)^3=0,125$.
Théorème de Thalès
Théorème de Thalès
Il existe deux situations où l’on peut appliquer le théorème de Thalès qui sont représentées par le schémas ci-dessous.
Deux droites doivent donc être sécantes et sont coupées par deux droites parallèles.
Théorème
Si $O, A, M$ alignés
$O, B, P$ alignés
$(AB)\ // \ (MP)$
Alors $\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{OP} = \dfrac{AB}{MP}$.
Le point $O$ est appelé le point charnière.
Ce théorème permet d’obtenir des quotients de longueurs, permettant ainsi de trouver des d’autres longueurs.
Exemple :
Les points $R, S, U$ sont alignés ainsi que les points $T, R, V$.
Les droites $(ST)$ et $(VU)$ sont parallèles. Donnons une valeur approchée de $RV$ à $10^{-2}$.
D’après le théorème de Thalès, $\dfrac{RU}{RS} = \dfrac{RV}{RT} = \dfrac{VU}{ST}$.
$\dfrac{64}{12} = \dfrac{RV}{10}$
$12 \times RV = 10 \times 64$
$RV = \dfrac{640}{12} \approx 53,33$
NB : à la toute fin de la vidéo, il y a une erreur de calcul, 640/12=53,3 et non 48 🙂 !!
Trigonométrie
Trigonométrie
La trigonométrie permet de mettre en relation des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.
Vocabulaire
L’hypoténuse correspond au plus grand côté, en face de l’angle droit.
Le côté touchant l’angle $\widehat{B}$ autre que l’hypoténuse est appelé le côté adjacent.
Le côté en face de l’angle $\widehat{B}$ est appelé le côté opposé.
On définit ainsi le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle $\widehat{B}$ par :
$\cos \widehat{B} = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\sin \widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\tan \widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de ses définitions est :
CAH-SOH-TOA :
Cosinus = Adjacent divisé par l’Hypoténuse,
Sinus = Opposé divisé par l’Hypoténuse,
Tangente = Opposé divisé par Adjacent
Propriétés
Le cosinus et le sinus d’un angle sont reliés par la relation suivant : $(\cos \widehat{B})^2 + (\sin \widehat{B})^2 = 1$
Enfin, la tangente d’un angle peut être définie à partir du sinus et du cosinus de l’angle :
$\tan \widehat{B} = \dfrac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}}$
Exemple :
On cherche la valeur de l’angle $\widehat{M}$.
Il s’agit donc de déterminer si il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente.
Ici, l’hypoténuse est donné ainsi que le côté adjacent : on utilise donc le cosinus.
Ainsi, $\cos \widehat{M} = \dfrac{MO}{MP}$
$\cos \widehat{M} = \dfrac{6}{11}\approx 0,545$
Donc en utilisant la calculatrice pour déterminer l’angle en connaissant la valeur de son cosinus on trouve $\widehat{M} \approx 56,9°$
Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$
Ou encore :
la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré de l’hypoténuse.
Cette relation permet, en connaissant la longueur de deux côtés, de trouver la longueur du dernier côté.
Exemple :
Soit $OMP$ un triangle rectangle en $O$, tel que $OM = 5 $ et $MP = 13$.
D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $OMP$ rectangle en $O$,
${OM}^2 + {OP}^2 = {MP}^2$
$5^2 + {OP}^2 = {13}^2$
$25 + {OP}^2 = 169$
${OP}^2 = 169 – 25$
${OP}^2 = 144$
$OP = \sqrt{144}$
$OP = 12$
Réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque du théorème de Pythagore
Soit $ABC$ un triangle,
si ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$, alors $ABC$ est un triangle rectangle en $A$
ou encore
si la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré du troisième alors le triangle est rectangle et le troisième côté est l’hypoténuse.
Ce théorème permet de prouver qu’un triangle est rectangle en connaissant la valeur de ses côtés.
Exemple :
Soit un triangle $RST$ tel que $RT = 1,2$ $TS = 1,6$ $RS = 2$.
Si l’énoncé ne fournit pas de schéma, il est utile d’en faire un à main levée qui respecte les proportions (le plus grand côté sur le schéma correspond au plus grand côté du triangle $RST$).
Si ce triangle est rectangle, alors son hypoténuse est $RS$ car c’est le plus grand côté.
On calcule alors ${RS}^2$ que l’on compare à ${RT}^2 + {TS}^2$.
Ainsi, ${RS}^2 = 2^2 = 4$.
De même, ${RT}^2 + {TS}^2 = {1,2}^2 + {1,4}^2 = 1,44 + 2,56 = 4$.
Donc ${RS}^2 = {RT}^2 + {TS}^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $T$.
Réciproque du théorème de Thalès
Réciproque du théorème de Thalès
Théorème :
Si $O, E, G$ d’une part et $O, F, H$ d’autre part sont alignés dans le même ordre
et si $\dfrac{OE}{OG} = \dfrac{OF}{OH}$
Alors les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles.
Exemple :
Démontrer que les droites $(DE)$ et $(FG)$ sont parallèles.
On commence donc par calculer de manière distincte $\dfrac{OG}{OD}$ et $\dfrac{OF}{OE}$.
Ainsi $\dfrac{OG}{OD} = \dfrac{5}{7}$.
De même, $\dfrac{OF}{OE} = \dfrac{3}{4,2} = \dfrac{30}{42} = \dfrac{5}{7}$.
Il ne faut pas donner les résultats sous forme approchée car il ne sera plus possible de comparer les deux fractions : il faut donc écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
Donc, $\dfrac{OG}{OD} = \dfrac{OF}{OE}$.
$O, D, G$ d’une part et $O, E, F$ d’autre part sont alignés dans le même ordre.
Alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(DE)$ et $(FG)$ sont parallèles.