Linéarité de la moyenne
Linéarité de la moyenne
Linéarité de la moyenne
Propriété :
Si une série de valeurs $x_i$ a pour moyenne $\overline{x}$ alors la série de valeurs $ax_i + b$ avec $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ a pour moyenne $\overline{y} = a \overline{x} + b$.
On étudie la série statistique suivante :
| indices $i$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| valeurs $x_i$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $10$ |
| effectifs $n_i$ | $2$ | $3$ | $2$ | $1$ | $7$ |
L’effectif total $N$ correspond à la somme des effectifs $x_i$ :
$N = \displaystyle \sum\limits _{i = 1}^5 n_i =n_1+n_2+n_3+n_4+n_5= 15$.
La moyenne arithmétique correspond à la somme des produits des valeurs par les effectifs, que l’on divise ensuite par l’effectif total :
$\overline{x} = \dfrac{1}{N} \displaystyle \sum\limits _{i = 1}^5 n_ix_i =\dfrac{1}{15}(2 \times (-4) + 3 \times (-1) + … + 7 \times 10) = 4$.
On étudie à présent une nouvelle série statistique, liée à la précédente dont on change les valeurs en gardant les effectifs, par la formule $y_i = 2x_i + 3$ pour tout $i \in \{1,2,3,4,5\}$.
| indices $i$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| valeurs $y_i$ | $-5$ | $1$ | $3$ | $5$ | $23$ |
| effectifs $n_i$ | $2$ | $3$ | $2$ | $1$ | $7$ |
On calcule alors la moyenne de cette nouvelle série :
$\overline{y} = \dfrac{1}{N} \displaystyle \sum\limits _{i = 1}^5 n_iy_i =11$.
On vérifie alors que $\overline{y} = 2 \overline{x} + 3$.
On retrouve donc bien la même expression que celle utilisée pour modifier les $x_i$.