Matrice inverse

Matrice inverse

Matrice inverse

Définition

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$. On note $ I_n$ la matrice unité d’ordre $n$.

S’il existe une matrice $B$ tel que :

$A \times B= B \times A= I_n$,

Alors $A$ est inversible et sa matrice inverse est $B=A^{-1}$.

Propriété

 Soit $A =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d\\
\end{pmatrix}$ une matrice carré d’ordre $2$

Si $ad-bc \neq 0$ alors $A$ est inversible et sa matrice inverse $A^{-1}$ vaut :

$A^{-1} =  \displaystyle\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a\\
\end{pmatrix}$

Exemple

Soit $M =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$. 

Vérifier que $M$ est inversible et déterminer sa matrice inverse.

Correction

On calcule : 

$ad-bc = 2 \times 1 – (-1)\times3 =5$

$ad-bc \neq 0$   $M$ est donc inversible. 

Déterminons sa matrice inverse $M^{-1}$

On a:

$M^{-1} =  \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-3 & 2\\
\end{pmatrix}$    $\iff$    $M^{-1} = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\[0.5cm]
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix}$.

On peut aisément vérifier que

$M\times M^{-1}=M^{-1}\times M = I_{2}$